Congrès international, Hyderabad

Piste verte 7 octobre 2010  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (1)

Par nature, les billets de Images des mathématiques sont éphémères. Rapidement, ils disparaissent dans les profondeurs des archives du site. La responsable de la rubrique « Portraits » a suggéré de compiler mes billets du mois d’août pour obtenir un « portrait du congrès d’Hyderabad ».

Le dernier Congrès International des Mathématiciens s’est tenu à Hyderabad, en Inde, en août 2010. Le premier avait eu lieu en 1897 à Zürich.
Images des mathématiques a déjà consacré un article aux circonstances historiques de cette initiative.
À l’époque, il y avait beaucoup moins de mathématiciens : quelques centaines tout au plus. Il n’y avait pas Internet, les serveurs de prépublications n’existaient pas, il n’y avait pas d’avions...
La communication entre les mathématiciens était très difficile.
Ces colloques représentaient une occasion exceptionnelle de se rencontrer et surtout de s’informer sur les résultats des collègues étrangers.

Trois mille participants à Hyderabad cette année.

N’est-il pas temps de repenser la nature des colloques de mathématiques ?

Qui organise les Congrès internationaux ?

C’est l’IMU (Union Mathématique Internationale) qui organise tous les quatre ans le Congrès International des Mathématiciens.
Juste avant le Congrès, l’IMU s’est réunie en assemblée générale.
Chacun des 68 pays adhérents envoie entre un et cinq délégués à l’assemblée générale, en fonction de son « poids mathématique », qui n’a bien souvent pas grand-chose à voir avec sa population.
Par exemple, parmi les 156 délégués présents à l’assemblée de Bangalore cette année, il n’y avait que 8 africains...
D’un autre côté, les Etats-Unis n’avaient que 5 délégués, tout comme la France.

Le but de cette assemblée ? On y discute de problèmes extrêmement généraux.
Par exemple, une discussion sur le rôle du facteur d’impact en mathématiques, un peu comme le CIO pourrait discuter des problèmes de dopage dans le sport...
On discute aussi des règles éthiques que les journaux mathématiques devraient suivre dans la sélection des articles qu’ils publient.

Des médailles et des prix

On a beaucoup parlé des médailles Fields et des autres prix attribués par le Congrès, par ordre alphabétique Elon Lindenstrauss, Yves Meyer, Louis Nirenberg, Ngô Bau Châu, Stanislav Smirnov, Daniel Spielman, Cédric Villani. Images des Mathématiques a d’ailleurs reproduit quatre articles de Julie Rehmeyer décrivant les travaux de Lindenstrauss, Ngo, Smirnov et Villani.

De nombreux cocoricos ont été lancés.
« Nous » avons 11 médailles Fields, « nous » sommes en deuxième position derrière les États-Unis qui en ont 13, etc.

Il faut bien sûr se réjouir de ce succès français, mais au fait, qu’est-ce que la nationalité d’un mathématicien ?
Entre 2003 et 2005, près de 40 % des chercheurs en mathématiques recrutés au CNRS étaient étrangers.

Sans revenir sur les débats bien désagréables sur les « Français récents »,
il faut dire clairement que la nationalité d’un mathématicien n’a rien à voir avec son passeport.
Le nouveau médaillé Fields [1] Ngô Bảo Châu est-il vietnamien puisqu’il a appris à lire, écrire et compter au Vietnam ?
Est-il français puisqu’il a préparé sa thèse à Paris ?
Ou bien américain puisque c’est aux États-Unis qu’il travaille actuellement ?
La réponse me paraît claire : il a ces trois « nationalités scientifiques ».
C’est d’ailleurs ce qu’il a indiqué lors de sa conférence plénière ; sous son nom, il avait écrit trois adresses.
Le Vietnam a bien raison de se réjouir de cette médaille ; il en a sûrement plus besoin que la France ou les États-Unis.

Des conférences

Mais pendant ces dix jours, j’ai assisté à un grand nombre de conférences [2] sur des thèmes extrêmement variés.
À quelques exceptions près, je me suis efforcé de ne pas assister à des exposés traitant de sujets qui me sont familiers.
Le prix à payer est clair : j’ai été souvent perdu dans des explications trop techniques.
Mais, j’ai pris un bain de maths et je crois comprendre un peu mieux ce que font mes collègues.

Beaucoup de conférences étaient passionnantes.
Toutes [3] avaient été préparées avec le plus grand sérieux, comme cela s’impose dans ce genre de circonstances.
Quelques-unes étaient vraiment trop difficiles, en tous cas pour les non spécialistes.
Je ne les décrirai pas, par charité.
Comment faire pour faire comprendre à nos collègues que tout le monde n’a pas réfléchi comme eux depuis vingt ans sur tel ou tel sujet pointu ?
Pourtant, ces mêmes collègues ont également des difficultés à comprendre ce que font les autres...

Celle de Claire Voisin

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Parfois le sujet est objectivement difficile d’accès.
Le thème de la « cohomologie des variétés algébriques » par exemple est à la fois fondamental en maths et difficile à expliquer aux non spécialistes.
Et pourtant, Claire Voisin a su montrer sa passion pour ce sujet en n’hésitant pas à « rappeler » ce qui est pourtant le b-a ba... pour elle.
Tous les participants n’ont peut-être pas compris tous les détails, mais ils ont tous été convaincus que ces questions sont passionnantes et profondes et ils ont une idée sur le travail de Claire Voisin.
Un moment de bonheur mathématique.

Cellle de Stanislas Smirnov. Recouvrez le plan avec des hexagones réguliers, comme sur cette figure.

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Maintenant, partez d’un sommet, par exemple le point 0, et cherchez à vous déplacer en suivant $N$ côtés d’hexagones avec une seule condition : il est interdit de repasser par où on est déjà passé. Par exemple, j’ai dessiné en rouge un chemin de longueur 12. De combien de manières peut-on le faire ? Appelons $F(N)$ ce nombre. Il n’est pas question de trouver une formule pour $F(N)$ mais on peut chercher à comprendre à quelle vitesse $F(N)$ croît quand $N$ tend vers l’infini. On suspecte une croissance de type exponentielle, c’est-à-dire qu’on pense que $F(N)$ est de l’ordre de $c^N$ pour une certaine constante $c$ inconnue qui s’appelle la constante de connectivité. Eh bien, Smirnov et Hugo Duminil-Copin ont trouvé cette constante ; elle vaut $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ [4].

Celle d’Artur Avila

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La renormalisation dans la théorie des systèmes dynamiques.

Il s’agit d’étudier une transformation $T$ qui va d’un ensemble $E$ dans lui-même.
L’ensemble $E$ représente les positions possibles d’un « système » et il peut être très simple, comme par exemple l’intervalle $[0,1]$ des nombres réels compris entre $0$ et $1$.
On part d’un point $x$ de $E$ qu’on pense comme la position au temps $0$ et on le transforme par $T$ pour obtenir sa position $T(x)$ au temps 1.
La transformation $T$ peut-être très simple, comme par exemple $T(x)= ax(1-x)$ pour une certaine valeur de $a$.
On recommence pour avoir la position au temps 2 en prenant le transformé du transformé $T(T(x))$ et bien sûr on recommence autant de fois qu’on le souhaite pour avoir la position en un temps quelconque $n$.
Étudier la dynamique de $T$, c’est décrire le futur de ce point $x$, c’est-à-dire se demander comment se comporte la suite des points aux temps $0,1,2$ etc.

Je peux expliquer maintenant ce qu’est la renormalisation, en simplifiant à l’extrême (et en trichant un peu). Supposons encore que l’ensemble $E$ soit l’intervalle $[0,1]$. Prenons un intervalle plus petit, par exemple $F=[1/4,3/4]$. Si la position initiale $x$ est dans $F$, il n’y a aucune raison que $T(x)$ soit encore dans $F$ : le point peut être sorti de $F$ au temps 1. Si c’est le cas, on continue dans le futur : on considère la position au temps 2, puis 3 etc. et on espère qu’au bout d’un certain temps, non contrôlé, le point va revenir dans $F$. Imaginons que ce soit le cas et notons $T'(x)$ ce point de premier retour dans $F$. Nous sommes partis d’une transformation $T$ de l’intervalle $E$ dans lui-même et nous avons construit une autre transformation $T'$ d’un autre intervalle $F$ dans lui-même : on dit que $T'$ est le renormalisé de $T$. Il est à peu près clair que si on peut dire quelque chose d’intéressant sur $T'$, on pourra dire quelque chose d’analogue sur la transformation $T$ qui nous intéressait initialement. Alors l’idée est de renormaliser à nouveau $T'$ pour obtenir un $T''$ et de renormaliser à nouveau etc. en espérant que toutes ces renormalisations soient de plus en plus en plus faciles à comprendre, si on choisit intelligemment les sous-intervalles $F$ à chaque étape.
L’exposé d’Artur consistait à expliquer toute la puissance de cette méthode pour décrire précisément la dynamique des transformations d’un intervalle. De bien belles idées !

Celle d’Irit Dinur

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Irit Dinur

Le travail du mathématicien, on le sait, consiste pour l’essentiel à démontrer de nouveaux théorèmes.
La première étape (souvent la plus difficile !) consiste à se poser la bonne question : trouver le théorème qu’on aimerait bien démontrer.
Il faut de l’imagination pour cela.
La seconde étape, (pas facile non plus) consiste à trouver une preuve du théorème en question !
Et puis, la troisième étape, la moins drôle, et pourtant indispensable, consiste à convaincre ses collègues que la preuve est correcte...

En pratique, le matheux écrit une prépublication contenant la preuve et l’envoie à un journal.
Le rédacteur en chef de ce journal, aidé par son comité de rédaction, choisit un ou plusieurs experts anomymes (les referees dans notre jargon) auxquels il demande de lire et de vérifier la preuve en question.
Ce n’est que si les referees sont convaincus de la preuve (et aussi de l’intérêt du théorème !) que l’article peut être validé et publié.

Travail ingrat que celui du referee. Il doit lire le travail d’un autre et chercher la petite bête.
Cela prend du temps, beaucoup de temps, et restera pour toujours anonyme (même s’il arrive malheureusement que l’anonymat ne soit pas respecté).
Bien sûr, ce travail est également intéressant puisqu’il permet d’apprendre de nouvelles techniques, de nouvelles idées etc.
Il n’empêche que les revues mathématiques ont de plus en plus de mal à trouver des referees qui acceptent de faire le travail sérieusement.
C’est un problème sérieux et on voit souvent des articles publiés pour lesquels on peut se demander s’ils ont été relus par un referee.

D’une certaine manière, vérifier une preuve est un travail automatique. En principe, il suffit de lire le texte ligne à ligne et de vérifier pour chaque ligne qu’elle est bien une conséquence des lignes précédentes !
Bien sûr, un referee ne fonctionne pas de cette manière dans la pratique. Il commence par naviguer dans l’article, chercher les points clés, remettre à plus tard la vérification des points secondaires qui lui semblent « standards » etc.
« Référer » sérieusement un article d’une centaine de pages par exemple est un travail considérable.

La conférence de Irit Dinur permettra-t-elle un jour de simplifier le travail des referees vérificateurs ?
Combien de temps faut-il pour vérifier un article de $N$ pages ?
Il peut sembler évident qu’il faut un temps proportionnel à $N$ puisqu’il faut tout lire dans l’ordre...
Disons par exemple qu’un article de 100 pages contient 100 000 lettres ou signes et qu’il me faut 10 secondes pour lire et vérifier chaque lettre. Il me faudra travailler 1 000 000 secondes : 12 jours (et nuits...).
S’il y a une erreur (et une seule suffit pour détruire la preuve), elle peut se trouver n’importe où !

Le théorème PCP que je vais essayer d’énoncer maintenant donne un autre point de vue sur le concept de preuve.
PCP veut dire « Probabilistic Checkable Proof ».
Le théorème affirme que si une assertion possède une preuve $\cal P$ de longueur $N$, alors elle possède une autre preuve $\cal P'$ qui est très facile à vérifier, tout au moins avec une bonne probabilité !
Précisément, cela signifie que si on choisit au hasard $3$ lignes de la preuve $\cal P '$ et qu’on n’y trouve pas d’erreurs, alors il y a plus de 50% de chance qu’il n’y a pas d’erreur du tout.
Si 50% ne vous suffit pas, on peut recommencer le test, en tirant $3$ nouvelles lignes au hasard : si on ne trouve pas d’erreur, il y a plus de 75% de chances qu’il n’y en a pas.
Et si je le fais, disons 100 fois, et que je ne trouve pas d’erreur, la probabilité qu’il existe une erreur quelque part, dans la partie non lue, sera inférieure à $2^{-100}$, soit environ $1,3. 10^{-30}$, c’est-à-dire microscopique.
On peut dire qu’il reste une possibilité d’erreur mais quel referee oserait dire que la probabilité qu’il a laissé passer une erreur est inférieure à $10^{-30}$ !
Ce qui est remarquable dans ce théorème, c’est que le nombre de lignes qu’il suffit de lire pour avoir une quasi-certitude que le théorème est correct est INDÉPENDANT de $N$, c’est-à-dire de la longueur de la preuve !!!

Init Dinur a employé une analogie pour expliquer ce théorème.
C’est un peu comme si, dit-elle, vous avez une tranche de pain qui a peut-être quelque part, un petite goutte de confiture, mais vous ne savez pas où.
Vous prélevez un bout de la tartine, au hasard, et vous ne trouvez pas de confiture ; pouvez-vous en déduire qu’il n’y a pas de confiture du tout ?
Certainement pas, sauf si vous faites beaucoup d’échantillonnages.
Mais si vous commencez par étaler la confiture sur la tranche de pain avec un couteau, elle se retrouvera un peu partout et il suffit d’en prendre un échantillon pour savoir s’il y avait ou pas une goutte de confiture.
Ici, c’est la même chose.
On part d’une preuve $\cal P$ qui possède quelque part, peut-être, une erreur.
Il existe une manière d’« étaler » la preuve pour en construire une autre $\cal P'$ dans laquelle les erreurs, s’il y en a, se sont « propagées » un peu partout et elles sont maintenant faciles à détecter en prenant un tout petit nombre d’échantillons.

Celle de Kim Plofker

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Une conférence plénière remarquable [5] traitait d’histoire des maths.
Kim Plofker a expliqué — entre autres — qu’aujourd’hui les mathématiciens indiens, japonais ou américains font « les mêmes maths » mais que ça n’a pas toujours été le cas.
Il y a 1000 ans, il y avait plusieurs manières de faire des maths dans des contextes culturels différents. L’« universalité » des maths n’a pas toujours été « une évidence ».
Son exposé essayait de décrire les moments de passage entre ces « blocs mathématiques », un peu comme une tectonique des plaques...
Parmi les exemples choisis, il y avait bien sûr la belle invention indienne : le système de numération décimal dans lequel on écrit les nombres en unités, dizaines, centaines, etc. en mettant un petit rond 0 lorsqu’il n’y a rien à mettre. Une invention indienne qui a passé la frontière indienne vers les pays arabes.

Kim Plofker a insisté, peut-être parce qu’elle parlait à l’ICM 2010, sur l’importance de ces moments fédérateurs, comme les congrès internationaux, qui revêtaient d’autres formes dans le passé lointain mais qui ont toujours joué un rôle fondamental.

Des tables rondes

J’ai assisté à une table ronde intitulée « Communicating mathematics to the society at large ».
Nos lecteurs se doutent bien que le comité de rédaction de Images des Maths réfléchit beaucoup à la « bonne » façon de présenter les maths « à la société en général ».
Travail difficile en particulier parce que nous n’avons que peu d’expérience dans ce domaine.
J’étais donc heureux de voir que le Congrès International proposait une table ronde sur ce sujet, par cinq experts de ces questions.
Il ne serait pas utile de faire un compte-rendu détaillé ici.
Disons simplement que plutôt que d’apprendre des choses nouvelles, j’ai été rassuré de constater que nous nous posons les mêmes questions, que nous avons les mêmes pistes de réflexion et que nous rencontrons les mêmes difficultés...

Du café

Les pauses café à l’ICM sont un peu différentes de celles des colloques « normaux »...
D’habitude, on connaît à peu près tout le monde mais à l’ICM, ce sont 3000 collègues qui prennent le café ! Alors il faut faire confiance au hasard pour rencontrer des connaissances qu’on n’a pas vues parfois depuis très longtemps.
C’est l’occasion de parler de mathématiques bien sûr, mais aussi de donner des nouvelles moins professionnelles, d’évoquer des souvenirs, de parler des enfants etc.

Du tourisme

Nos lecteurs pourraient penser que j’ai passé dix jours enfermé dans un centre de congrès, sans voir quoi que ce soit de l’Inde. Ce serait presque vrai. Tout de même, une journée libre a permis aux congressistes de goûter aux embouteillages gigantesques d’Hyderabad et de prendre conscience de ce que peut être le chaos.
Lors de l’inauguration du congrès, on nous a présenté l’Inde en nous expliquant que dans aucun autre pays au monde le tiers des voitures roulent à gauche, un autre tiers à droite et le troisième tiers au milieu...
Mais rassurez-vous ! Avant le congrès, j’ai pu me promener dans le Kerala et profiter de ses plages idylliques. Extraits de mes photos de vacances...

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Les voyages : un autre avantage du métier de matheux !

Post-scriptum :

Merci à Michèle Audin qui m’a incité à compiler mes billets.

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : vchahun, Aurélien Djament, Rémi Coulon.

Notes

[2Je ne les ai pas comptées !

[3À une exception près, à mon avis, parmi celles auxquelles j’ai assisté.

[4Plus précisément, ils montrent que la limite de $F(N) ^{1/N}$ quand $N$ tend vers l’infini est $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

[5Indian rules, Yavana rules : foreign identity and the transmission of mathematics.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Congrès international, Hyderabad» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

  • Congrès international, Hyderabad

    le 8 octobre 2010 à 07:59, par C.Favre

    Je souhaite mentionner que tous les actes des congres internationaux sont desormais accessibles librement sur le web
    http://www.mathunion.org/ICM/
    Les videos des quatres derniers congres sont aussi en consultation libre
    http://www.mathunion.org/publications/historic-material
    A ce titre, je ne peux que regretter que les videos du dernier congres ne soient
    pas a la hauteur de ce que l’on pourrait raisonnablement attendre
    d’un tel evenement.

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