Une Publicité

On nous bat et rebat les oreilles avec ça depuis plus d’un mois maintenant :

Connaissez-vous l’effet papillon ?

Eh bien, si vous ne connaissez pas, rassurez-vous vous allez comprendre
de quoi il retourne en regardant ce spot,
vantant les mérites du recyclage des emballages.

Alors, convaincu ? Dans ce spot, Monsieur Papillon, qu’on dirait tout droit sorti
du décor stylisé d’un film de Tim Burton, et qui arbore un nœud papillon rouge, convainc son
voisin anonyme de recycler ses emballages, parce que $7700$ boîtes de petits pois
permettent de construire une automobile, $18$ bouteilles en plastique pour faire un pull, etc ...
Et c’est cela, nous dit-on l’effet papillon.

Pourtant, E. Ghys, spécialiste du sujet, explique ici, ce qu’est l’effet papillon :
c’est lié à l’existence de systèmes chaotiques et ne semble pas aussi simple que ce qui est décrit dans le spot publicitaire.

De quoi est-il question dans cette campagne de publicité ? De façon simplifiée
on pourrait dire qu’il s’agit plus d’effet exponentiel que d’effet papillon. Voyons pourquoi.

Un petit calcul

Supposons en effet que la semaine du 1er janvier 2013, une seule personne recycle ses emballages et, que, chaque semaine, toute personne recyclant ses emballages
convainque une (et une seule) personne supplémentaire de se mettre à recycler
(ce qui est présenté comme l’effet papillon dans le spot).

Alors au bout de $n$ semaines, $2^n$ personnes recyclent leurs emballages.
Si maintenant chaque foyer
consomme exactement une boîte de petits pois par semaine,,
le nombre $b_n$ de boîtes de petits
pois dont on dispose après $n$ semaines vaut $b_n=u_1+\ldots+u_n$, c’est-à-dire,
$b_n=2^{n+1}-1$. Bref, en fonction du temps, les suites $u_n$ et $b_n$ croissent
exponentiellement.
En particulier, après $n=12$ semaines, $b_n\geq 7700$ et on peut fabriquer une voiture.

C’est donc un effet exponentiel, qui est décrit dans la campagne de publicité, ou
plus sommairement, l’accumulation de petits gestes produit de grands effets.

On notera que la population française (voire mondiale) étant finie, cet effet exponentiel finira par s’essouffler.

Conclusion

A force de tout recycler, l’effet papillon lui-même a été recyclé et ... dénaturé. Pour
citer le texte de E. Ghys, le véritable « effet papillon » en mathématiques, tel que
décrit par Lorenz, et avant lui, par Poincaré et Hadamard, consiste à observer qu’il y a
des systèmes pour lesquels :

Nous savons que le présent détermine le futur, mais nous savons également qu’une
connaissance imparfaite du présent, comme c’est presque toujours le cas, rend la détermination du futur illusoire.

E. Ghys fait suivre cette phrase de l’observation suivante :

Il a fallu un siècle pour que cette idée simple mais fondamentale soit assimilée,
malheureusement de manière souvent imparfaite, dans le public mais aussi parmi les
scientifiques,

qui est très bien illustrée par la campagne de publicité Ecoemballage (qui n’est pas la
seule ni la première à dévoyer ainsi l’effet papillon).

Alors, recyclez vos boîtes de petits pois et lisez le texte de E. Ghys, pour en savoir plus..

Et au fait, quelle surface représente le logo du recyclage ? (Réponse)