Cuando Octavio entró, Diagonal —armada de una regla y de un compás— estaba haciendo una figura súper complicada.

— Un compás, ¡qué lindo ! -canturreó Octavio-. Por el contrario, tu regla : ¿es normal que no sea graduada ?

— Es súper práctica para trazar rectas -respondió Diagonal-. Pero es cierto que para medir longitudes no es tan buena.

— Y además, ¡incluso para trazar rectas tú no puedes usar más que un lado ! -hizo notar Octavio-.

— ¿Sabes qué ? -dijo Diagonal-. No es la regla lo que yo quería mostrarte, sino una nueva aplicación que bajé a mi tablet.

— Déjame adivinar -dijo Octavio-. ¿Una app de Mate ?

— ¡Sí ! Se supone que es para ’’analizar los objetos, los sonidos, las imágenes y los olores en su ambiente’’ y proponer ejercicios en función de eso...

Diagonal abrió la aplicación y los niños vieron aparecer sobre la tablet las palabras siguientes :

— ¿Viste ? ¡Me parece que analizó bien su entorno ! -dijo Diagonal-.

— Contigo uno siempre termina haciendo matemáticas -suspiró Octavio-. ¿Qué quiere decir eso de ’’puntos arbitrarios’’ marcados sobre los arcos e intervalos ?

— ¡Ah, creo que es solo para poder trazar, por ejemplo, una recta al azar ! dijo Diagonal. Digamos que tú quieres trazar una recta que corte una circunferencia dada. Entonces tú eliges un punto al azar sobre la circunferencia, otro punto en cualquier parte del plano, y ¡paf ! trazas la recta que pasa por esos dos puntos.

Al decir eso, hizo click encima de comenzar los ejercicios.

— Y, eeh, ¿no tendrás una regla normal para que yo pueda medir tu segmento y dividirlo en dos ? -preguntó Octavio-.

— Si quieres de verdad saber, ese segmento mide exactamente $25,243$ mm. ¡Tengo un compás en el ojo (ja-ja-ja) ! -respondió Diagonal-.

Octavio tomó una hoja de papel y escribió esto :

— Sin lugar a dudas tú sabes dividir por 2 -dijo Diagonal-. Pero yo creo que el objetivo es utilizar la regla y el compás siguiendo las reglas. Y además, yo ya encontré una solución.

Solución.

Tracemos una circunferencia de centro $A$ y otra de centro $B$ del mismo radio. Esas dos circunferencias se cortan en dos puntos $C$ y $D$. La recta $(CD)$ corta ahora el segmento $[AB]$ en su punto medio.

— ¿Y cómo lo hago para elegir el radio de las circunferencias ? -preguntó Octavio-.

— ¡Pero si cualquier qué radio sirve !

— Yo creo que si las circunferencias son demasiado pequeñas, entonces no van a cortarse en absoluto y tu solución no va a funcionar -objetó Octavio-.

— Bueno, de acuerdo, tienes razón. El radio tiene que ser más grande que $AB/2$.

— ¿Pero no era justamente el objetivo del ejercicio encontrar $AB/2$ ?

— ¡Ah ! ¿Pero me haces rabiar a propósito ? Si tú quieres, toma el radio igual a $AB$. Por cierto, estará más de acuerdo con las reglas. Voy a añadirlo en la solución -dijo Diagonal, un poco alterada-.

Después de un minuto y cuarenta segundos de reflexión, Diagonal se puso a garabatear una solución.

Solución de Diagonal. Pongamos sobre la recta $d$ dos puntos distintos cualesquiera $B$ y $C$. Tracemos ahora la circunferencia de centro $A$ y radio $BC$ y la circunferencia de centro $C$ y radio $AB$. Estas se cortan en un punto $D$. La recta $(AD)$ es entonces la que uno busca.

— ¿Ves por qué es la recta correcta ? -preguntó Diagonal-.

— Sí, creo -dijo Octavio-. Vi cómo se trazaron las circunferencias, los dos segmentos rojos son de la misma longitud y semejantes a los dos segmentos en línea punteada. Entonces $ABCD$ es un paralelógramo —es lo único que hacemos en clases— y sus lados opuestos son paralelos. Sin embargo, tengo un pequeño problema : las dos circunferencias se cortan también en el punto $D'$. ¿Cómo se hace para elegir el punto correcto ?

— Es verdad, es extraño, déjame pensar un poco -dijo Diagonal-. Los cuadriláteros $ABCD$ y $ABCD'$ tienen ambos los lados opuestos iguales y, sin embargo, hay uno que claramente no es un paralelógramo... ¡Ya sé, lo veo ! : uno de esos cuadriláteros está cruzado, no nos conviene. Hay que elegir el que no esté cruzado y que es efectivamente un paralelógramo.

• ¡Fácil ! -exclama Diagonal-. ¡Es el punto de intersección de las mediatrices ! Su centro, quiero decir.

Solución. Durante la resolución del ejercicio 1, habíamos aprendido a construir la mediatriz de un segmento dado. Comencemos por trazar la del segmento $[AB]$. Los puntos de esta mediatriz se encuentran a igual distancia de $A$ y $B$. Tracemos ahora la mediatriz de $[BC]$. Sus puntos se encuentran a igual distancia de $B$ y $C$. El punto de intersección $O$ de esas dos mediatrices se encuentra entonces a igual distancia de $A$, $B$ y $C$. Dicho de otro modo, es el centro de la circunferencia circunscrita.

— ¿Es todo ? Pero no se ha trazado la circunferencia, ¡solo encontramos su centro ! -protestó Octavio-.

— ¿Eres tonto o qué ? Una vez que tienes el centro, trazas la circunferencia que pasa por $A$, y va a pasar también por $B$ y $C$ automáticamente.

— Bueno, OK. Pero todavía hay algo que no comprendo, -confesó Octavio-. ¿El triángulo tiene tres lados ? ¿Entonces por qué tú no trazaste más que dos mediatrices ? ¿No habría que trazar las tres ?

— El punto $O$ ya está a igual distancia de los puntos $A$, $B$ y $C$. Lo que quiere decir que pertenece a las tres mediatrices. Es cierto que podría haber trazado las tres, todas pasan por $O$. Pero para encontrar $O$, basta con trazar dos.

Los ejercicios desfilaban sobre la pantalla, y pronto Octavio y Diagonal estaban rodeados de una pila de hojas con las soluciones, soluciones que hemos entregado en orden para conveniencia del lector.

Solución. Tracemos una circunferencia de centro $P$ y radio lo suficientemente grande para que corte la recta $d$ en dos puntos $A$ y $B$ (se puede comenzar por elegir un punto $A$ al azar sobre la recta $d$, y luego trazar la circunferencia). La mediatriz del segmento $[AB]$ pasa ahora por $P$, ya que $A$ y $B$ son equidistantes de $P$. Esta mediatriz es también perpendicular a la recta $d$. Es entonces la recta que buscamos.

Observación de Octavio. Si se elige el punto $A$ sobre la recta $d$ verdaderamente al azar, hay una muy pequeña chance de que el círculo de radio $[PA]$ sea tangente a la recta, en cuyo caso no habrá segundo punto $B$. Pero bueno, en ese caso la recta $(PA)$ ya es la perpendicular que uno busca.

Observación de Diagonal. La construcción igual funciona si el punto $P$ se encuentra sobre la recta $d$.

Solución.

Tracemos las rectas $d_A$ y $d_B$ perpendiculares a $[AB]$ que pasen por $A$ y por $B$. Los vértices del cuadrado se encuentran sobre esas rectas. Para encontrarlos, se puede trazar dos circunferencias de radio $AB$ centradas en $A$ y $B$. Los puntos de intersección de estas circunferencias con las rectas $d_A$ y $d_B$ nos darán los vértices faltantes del cuadrado. Solo hay que pensar en tomar los puntos del mismo lado del segmento $[AB]$.

Solución.
Elijamos tres puntos distintos $A$, $B$ y $C$ sobre la circunferencia y usemos el ejercicio 3 que permite encontrar el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$.

Solución. Encontremos primero el centro $O$ de la circunferencia $\mathcal{C}$ y tracemos la recta $(OA)$. Sea $O'$ el segundo punto de intersección de esta recta con la circunferencia de centro $A$ y radio $[AO]$. La mediatriz del segmento $[OO']$ es entonces la tangente buscada. En efecto, ella pasa por $A$ y es perpendicular al radio $[OA]$.

Solución. Encontremos el centro $O$ de la circunferencia $\mathcal{C}$. Tracemos la circunferencia de diámetro $[AO]$ (para eso, primero hay que encontrar el punto medio del segmento $[AO]$). Esa circunferencia corta $\mathcal{C}$ en $B$ y $C$. Las rectas $(AB)$ y $(AC)$ son entonces tangentes a $\mathcal{C}$. En efecto, los ángulos $\widehat{ABO}$ y $\widehat{ACO}$ son rectos, pues son ángulos inscritos en la circunferencia y ambos intersecan el diámetro $[AO]$. En consecuencia, las rectas $(AB)$ y $(AC)$ son perpendiculares, respectivamente, a los radios $[OB]$ y $[OC]$ de la circunferencia $\mathcal{C}$. Ellas son, por tanto, tangentes a $\mathcal{C}$.

— El ejercicio siguiente tiene un asterisco -dijo Diagonal-. Eso quiere decir que es más difícil que los otros.

Octavio colocó la regla sobre la hoja y la hizo deslizar hasta que tocó las dos circunferencias.

— ¡Ya está ! -dijo-. Pásame el lápiz y trazó la tangente.

— Pero tú bien sabes que eso es contra las reglas del juego -protestó Diagonal-. Mira, ahí dice que tú ’’solo usarás la regla para trazar rectas entre puntos marcados distintos’’. No vale hacer que toque las circunferencias así.

— Yo creo, Diagonal, que tú estás simplemente tratando de sofocar mi espíritu creativo -dijo Octavio con amargura, y se puso a tararear, mirando una hormiga que se subía por la ventana-.

Diagonal hizo girar la regla entre sus dedos, arrancó catorce pequeños pedazos de caucho de su goma, se rascó la oreja e hizo sonar la lengua. Finalmente dijo :

— Si solamente uno pudiera construir el punto $T$ de la figura... ya ves, uno sabe construir los centros $O_1$ y $O_2$ de las dos circunferencias, y uno puede trazar la recta que pasa por los dos centros. El punto $T$ se encuentra necesariamente sobre esta recta, pero... ¿dónde exactamente ?

— ¡Já ! Esto es como un eclipse de Sol -comentó Octavio-. El punto $T$ eres tú $\mathcal{C}_1$ es la Luna y $\mathcal{C}_2$ es el Sol. La Luna te tapa exactamente como el Sol, aunque él sea más grande.

— Sí, todo eso es lindo, pero eso no nos ayuda mucho -interrumpió Diagonal-.

Pero Octavio, decidido a usar su espíritu creativo, prosiguió :

— Y además, si uno supone que hay una hormiga en la Luna, ella podría tapar a una hormiga mega-gigante sobre el Sol. Esta hormiga, por supuesto, no debería quemarse.

Y Octavio se puso a dibujar las dos hormigas.

— ¡Para de dibujar sobre mi figura ! -gritó Diagonal-. ¡Oh ! creo que comprendí...

— Si yo trazo la recta que pasa por las antenas izquierdas de tus hormigas, ella va a pasar exactamente por el punto $T$ que yo busco, ya que una de las hormigas tapa exactamente a la otra... ¿No te enoja si hago las hormigas un poco simplificadas ? Por ejemplo, de diámetros perpendiculares a $(O_1O_2)$.

Diagonal tomó la regla y el compás :

— Ahora, aquí está : encuentro primero los centros de las circunferencias $O_1$ y $O_2$ (uno ya sabe hacer eso). Trazo la recta $(O_1O_2)$ sobre la cual veo los dos diámetros de las dos circunferencias. Trazo las mediatrices de esos dos diámetros (uno ya sabe hacer eso también). Eso me da dos nuevos diámetros que van a hacer el papel de las hormigas. Finalmente, conecto las cabezas de las dos hormiga, y... ¡abracadabra ! Prolongando la recta, ¡caigo justo sobre el punto $T$ por el cual pasan mis dos tangentes !

— Y todo gracias a mis hormigas que no se queman -recordó Octavio, orgulloso de sí-. No te queda más que encontrar cómo trazar una tangente sabiendo que pasa por $T$. ¡Ah sí, si seré tonto ! era uno de los ejercicios de antes. O sea de hecho, el problema quedó resuelto.

Solución.

Como en el ejercicio anterior, se encuentra primero los centros de las circunferencias $O_1$ y $O_2$. Se traza la recta $(O_1O_2)$ sobre la cual se ve dos diámetros de los dos circunferencias. Se traza las dos mediatrices de esos dos diámetros, lo que hace aparecer dos nuevos diámetros que van a jugar el papel de las hormigas. Finalmente, se conecta la cabeza de una de las hotmigas a la cola de la otra. La recta obtenida así corta $(O_1 O_2)$ en el punto $T'$ por el cual pasan las otras dos tangentes.

Solución.

Se comienza de la misma manera que antes. Se encuentra primero los centros de las circunferencias $O_1$ y $O_2$. Se traza la recta $(O_1O_2)$ sobre la cual se ve los dos diámetros de las dos circunferencias. Se traza las mediatrices de esos dos diámetros, lo que hace aparecer dos nuevos diámetros que van a jugar el papel de las hormigas.

Conectando respectivamente las cabezas y las colas de las hormigas, se encuentra esta vez dos rectas paralelas a $(O_1 O_2)$. Por lo tanto el punto $T$ no existe en este caso, pero esas dos rectas son justamente dos tangentes comunes.

Conectando la cabeza de una de las hormigas con la cola de la otra se encuentra, como antes, un punto $T'$ por el cual pasan todavía dos tangentes comunes. Este es el punto medio de $[O_1 O_2]$, por lo que uno habría podido construirlo más fácilmente.

— Bueno, ahora voy a poder ir a tocar piano y componer una canción sobre las construcciones con regla y compás -declaró Octavio-.

— Me gustaría mucho saber tocar piano como tú -le dijo Diagonal-.

— ¿Qué crees tú ? !No es por nada que me llamo Octavio [1] !

Una vez que Octavio partió, Diagonal tomó de nuevo la tablet, hizo click sobre ’’ejercicios suplementarios’’ y se puso a mordisquear su lápiz para reflexionar mejor.