Constructions à la règle et au compas 1

Piste verte Le 14 août 2016  - Ecrit par  Dimitri Zvonkine Voir les commentaires (5)

Rediffusion d’un article publié le 10 décembre 2013.

Les constructions à la règle et au compas forment un beau petit domaine de géométrie.

Ce sont les mathématiciens de la Grèce antique qui ont commencé à les étudier. Après avoir développé un important corpus de jolis constructions, ils se sont heurtés aux problèmes de la duplication du cube, de la trisection de l’angle et de la quadrature du cercle, des problèmes où l’impossibilité de la construction ne sera prouvée que 2000 ans plus tard.

Les Grecs savaient construire avec une règle et un compas certains polygones réguliers : le triangle équilatéral, le carré, l’hexagone régulier et le pentagone régulier et ceux qui s’en déduisent. Il faut attendre Carl Friedrich Gauss (1777-1855) pour avoir une nouvelle construction, celle du polygone régulier à 17 côtés, le 29 mars 1796. La beauté de cette construction décide Gauss à s’orienter vers les mathématiques plutôt que la philologie.

Quand Octave entra, Diagonale, armée d’une règle et d’un compas, était en train de tracer une figure super compliquée.

— Un compas, c’est sympa ! chantonna Octave. Par contre, ta règle, c’est normal qu’elle ne soit pas graduée ?

— Elle est super pratique pour tracer des droites, répondit Diagonale. Mais c’est vrai que pour mesurer des longueurs elle est pas top.

— Et puis même pour tracer des droites tu ne peux utiliser qu’un seul côté ! remarqua Octave.

— Tu sais quoi ? dit Diagonale. C’est pas la règle que je voulais te montrer, mais une nouvelle appli que j’ai téléchargée sur ma tablette.

— Laisse-moi deviner, dit Octave. Une appli de maths ?

— Oui ! Elle est censée « analyser les objets, les sons, les images et les odeurs dans son environnement » et proposer des exos en fonction de ça...

Diagonale ouvrit l’application et les enfants virent apparaître sur la tablette les mots suivants :

— T’as vu, elle a bien analysé son environnement, je trouve ! dit Diagonale.

— Avec toi on finit toujours par faire des maths, soupira Octave. Ça veut dire quoi cette histoire de « points arbitraires » marqués sur des arcs et des intervalles ?

— Ah, je crois que c’est juste pour pouvoir tracer, par exemple, une droite au hasard, dit Diagonale. Disons que tu veux tracer une droite qui coupe un cercle donné. Alors tu choisis un point au hasard sur ce cercle, un autre point quelque part sur le plan, et — paf ! — tu traces la droite qui passe par ces deux points.

Ce disant elle cliquait déjà sur commencer les exos.

Exercice 1.

Un segment $[AB]$ est dessiné sur le plan. Construire son milieu.

— Et, euh, tu n’aurais pas une règle normale pour que je puisse mesurer ton segment et diviser par deux ? demanda Octave.

— Si tu veux vraiment savoir, ce segment fait très exactement $25,243$ mm, j’ai le compas dans l’œil (ha-ha-ha) ! répondit Diagonale.

Octave prit une feuille de papier et écrivit ceci :

— Sans conteste, tu sais diviser par 2, dit Diagonale. Mais je crois que le but, c’est d’utiliser la règle et le compas en suivant les règles de l’art. Et d’ailleurs, moi, j’ai déjà trouvé une solution.

Solution.
Traçons un cercle de centre $A$ et un cercle de centre $B$ de même rayon. Ces deux cercles se coupent en deux points $C$ et $D$. La droite $(CD)$ coupe alors le segment $[AB]$ en son milieu.

— Et comment je fais pour choisir le rayon des cercles ? demanda Octave.

— Mais n’importe quel rayon convient !

— Moi, je crois que si les cercles sont trop petits ils ne vont pas se couper du tout et ta solution ne va pas marcher, objecta Octave.

— Bon, d’accord, tu as raison, il faut que le rayon soit plus grand que $AB/2$.

— Mais ce n’était pas justement le but de l’exercice de trouver $AB/2$ ?

— Ah ! mais tu fais exprès de m’embêter ? Si tu veux, prends le rayon égal à $AB$. D’ailleurs, ça sera plus conforme aux règles de l’art. Je vais le rajouter dans la solution, tiens, dit Diagonale un peu énervée.

Exercice.

Un segment $[AB]$ est dessiné sur le plan. Tracer un triangle équilatéral dont $[AB]$ est l’un des cotés.

Solution.

Deux des trois sommets du triangle seront forcément $A$ et $B$. Traçons les cercles de rayon $[AB]$ centrés en $A$ et en $B$. Ils ont deux points d’intersection et chacun de ces points peut être pris comme troisième sommet du triangle.

Exercice.

Construire un hexagone régulier à la règle et au compas.

Solution.

On obtient un hexagone régulier en accolant 6 triangles équilatéraux, soit en répétant 6 fois la construction de l’exercice précédent.

Exercice 2.

Une droite $d$ et un point $A$ en dehors de $d$ sont dessinés sur le plan. Tracer la droite qui passe par $A$ et est parallèle à $d$.

Après une minute et quarante secondes de réflexion, Diagonale se mit à gribouiller une solution.

Solution de Diagonale. Plaçons sur la droite $d$ deux points distincts quelconques $B$ et $C$. Traçons maintenant le cercle de centre $A$ et de rayon $BC$ et le cercle de centre $C$ et de rayon $AB$. Ces deux cercles se coupent en un point $D$. La droite $(AD)$ est alors la droite qu’on cherche.

— Tu vois pourquoi c’est la bonne droite ? demanda Diagonale.

— Oui, je crois, dit Octave. Vu comment on a tracé les cercles, les deux segments rouges sont de même longueur et pareil pour les deux segments en pointillé. Donc $ABCD$ est un parallélogramme, on ne fait que ça en classe, et ses côtés opposés sont parallèles. Par contre, j’ai un petit problème : les deux cercles se coupent aussi au point $D'$. Comment on fait pour choisir le bon point ?

— C’est vrai, c’est bizarre, laisse-moi réfléchir un peu, dit Diagonale. Les quadrilatères $ABCD$ et $ABCD'$ ont tous les deux les côtés opposés égaux et pourtant il y en a un qui n’est visiblement pas un parallélogramme... Ça y est, je vois : un des ces quadrilatères est croisé, il ne nous convient pas. Il faut choisir celui qui n’est pas croisé et qui est bien un parallélogramme.

Solution définitive.

Plaçons sur la droite $d$ deux points distincts quelconques $B$ et $C$. Il existe alors un unique point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme. (En effet, $D$ est l’unique point d’intersection de la droite $d'$ parallèle à $d$ et passant par $A$ avec la droite $d''$ parallèle à $(AB)$ et passant par $C$.)

Considérons le cercle de centre $A$ et de rayon $BC$ et le cercle de centre $C$ et de rayon $AB$. Ces deux cercles passent par $D$ qui est donc leur point d’intersection. Il existe en général un deuxième point d’intersection qu’on appelle $D'$. Le quadrilatère $ABCD'$ vérifie $AB = CD'$ et $BC = AD'$, mais n’est pas un parallélogramme. Par conséquent c’est un quadrilatère croisé. (En effet, un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés sont égaux est toujours un parallélogramme.) Notons que dans le cas particulier où $AB = BC$, nous avons $D'=B$, tandis que le quadrilatère est un losange.

Nous aboutissons finalement à la construction suivante.

Plaçons sur la droite $d$ deux points distincts quelconques $B$ et $C$. Traçons le cercle de centre $A$ et de rayon $BC$ et le cercle de centre $C$ et de rayon $AB$. Soit $D$ leur point d’intersection tel que le quadrilatère $ABCD$ soit non croisé. La droite $(AD)$ est alors la droite qu’on cherche.

Exercice 3.

Un triangle $ABC$ est dessiné sur le plan. Construire son cercle circonscrit.

« Facile ! s’exclama Diagonale, c’est le point d’intersection des médiatrices ! Son centre, je veux dire. »

Solution. Lors de la résolution de l’exercice 1, nous avons appris à construire la médiatrice d’un segment donné. Commençons par tracer celle du segment $[AB]$. Les points de cette médiatrice se trouvent à égale distance de $A$ et de $B$. Traçons maintenant la médiatrice de $[BC]$. Ses points se trouvent à égale distance de $B$ et de $C$. Le point d’intersection $O$ de ces deux médiatrices se trouve donc à égale distance de $A$, de $B$ et de $C$, autrement dit, c’est le centre du cercle circonscrit.

— C’est tout ? Mais on n’a pas tracé le cercle, on a juste trouvé son centre ! protesta Octave.

— T’es bête ou quoi ? Une fois que tu as le centre, tu traces le cercle qui passe par $A$ et il va aussi passer par $B$ et $C$ automatiquement.

— Bon, OK. Mais il y a encore un truc que je ne comprends pas, avoua Octave. Le triangle, il a bien trois côtés ? Alors, pourquoi tu n’as tracé que deux médiatrices ? Il ne faudrait pas tracer les trois ?

— Le point $O$ est déjà à égale distance des points $A$, $B$ et $C$. Ce qui veut dire qu’il appartient aux trois médiatrices. C’est vrai que j’aurais pu tracer les trois, elles passent toutes par $O$. Mais, pour trouver $O$, il suffit d’en tracer deux. »

Les exercices défilaient sur l’écran, et bientôt Octave et Diagonale étaient entourés d’un tas de feuilles avec les solutions, solutions que nous avons remis dans l’ordre pour la convenance du lecteur.

Exercice 4.

Une droite $d$ et un point $P$ sont dessinés sur le plan. Tracer la droite perpendiculaire à $d$ et passant par $P$.

Solution. Traçons un cercle de centre $P$ et de rayon suffisamment grand pour qu’il coupe la droite $d$ en deux points $A$ et $B$. (On peut commencer par choisir un point $A$ au hasard sur la droite $d$, puis tracer le cercle.) La médiatrice du segment $[AB]$ passe alors par $P$, puisque $A$ et $B$ sont équidistants de $P$. Cette médiatrice est aussi perpendiculaire à la droite $d$. C’est donc la droite que nous cherchons.

Remarque d’Octave. Si on choisit le point $A$ sur la droite $d$ vraiment au hasard, il y a une toute petite chance que le cercle de rayon $[PA]$ soit tangent à la droite, auquel cas il n’y aura pas de deuxième point $B$. Mais bon, dans ce cas la droite $(PA)$ est déjà la perpendiculaire qu’on cherche.

Remarque de Diagonale. La construction marche tout aussi bien si le point $P$ se trouve sur la droite $d$.

Exercice.

Un segment $[AB]$ est dessiné sur le plan. Tracer un carré dont $[AB]$ est l’un des côtés.

Solution.

Traçons les droites $d_A$ et $d_B$ perpendiculaires à $[AB]$ passant par $A$ et par $B$. Les sommets du carré se trouvent sur ces droites. Pour les trouver, on peut encore tracer deux cercles de rayon $AB$ centrés en $A$ et en $B$. Les points d’intersection de ces cercles avec les droites $d_A$ et $d_B$ nous donneront les sommets manquants du carré, il faut juste penser à prendre les points du même côté du segment $[AB]$.

Exercice 5.

Un cercle est dessiné sur le plan, mais son centre n’est pas marqué. Retrouver le centre du cercle.

Solution.
Choisissons trois points $A$, $B$ et $C$ distincts sur le cercle et utilisons l’exercice 3 qui permet de trouver le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.

Exercice 6.

Un cercle $\mathcal{C}$ et un point $A$ appartenant au cercle sont dessinés sur le plan. Tracer la droite passant par $A$ et tangente au cercle.

Solution. Trouvons d’abord le centre $O$ du cercle $\mathcal{C}$ et traçons la droite $(OA)$. Soit $O'$ le deuxième point d’intersection de cette droite avec le cercle de centre $A$ et de rayon $[AO]$. La médiatrice du segment $[OO']$ est alors la tangente recherchée. En effet, elle passe par $A$ et est perpendiculaire au rayon $[OA]$.

Exercice 7.

Un cercle $\mathcal{C}$ et un point $A$ extérieur au cercle sont dessinés sur le plan. Tracer les deux droites tangentes au cercle qui passent par $A$.

Solution. Trouvons le centre $O$ du cercle $\mathcal{C}$. Traçons le cercle de diamètre $[AO]$ (pour cela, il faudra d’abord trouver le milieu du segment $[AO]$). Ce cercle coupe $\mathcal{C}$ en $B$ et $C$. Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont alors tangentes à $\mathcal{C}$. En effet, les angles $\widehat{ABO}$ et $\widehat{ACO}$ sont droits puisque ce sont des angles inscrits qui interceptent tous deux le diamètre $[AO]$ ; par conséquent, les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires respectivement aux rayons $[OB]$ et $[OC]$ du cercle $\mathcal{C}$ ; elles sont donc bien tangentes à $\mathcal{C}$.

— L’exercice suivant a un astérisque, dit Diagonale. Ça veut dire qu’il est plus dur que les autres.

Exercice 8*.

Deux cercles, $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$, sont dessinés sur le plan. L’un est situé à l’extérieur de l’autre et leurs rayons ne sont pas égaux. Tracer une droite tangente aux deux cercles.

Octave posa la règle sur la feuille et la fit glisser jusqu’à ce qu’elle touche les deux cercles.

— Voilà ! dit-il, passe-moi le crayon et je trace la tangente !

— Mais tu sais bien que c’est contre les règles de l’art, protesta Diagonale. Regarde, ça dit « tu n’utiliseras la règle que pour tracer une droite qui passe par deux points donnés ». On n’a pas le droit de la faire toucher les cercles comme ça.

— Je crois, Diagonale, que tu es tout simplement en train d’étouffer mon esprit créatif, dit Octave avec amertume et il se mit à fredonner en observant une fourmi qui grimpait le long de la fenêtre. »

Diagonale fit tourner la règle entre ses doigts, arracha quatorze petits bouts de caoutchouc de sa gomme, se gratta l’oreille et claqua la langue. Finalement, elle dit :

— Si seulement on pouvait construire le point $T$ de la figure... Tu vois, on sait construire les centres $O_1$ et $O_2$ des deux cercles et on peut tracer la droite qui passe par les deux centres. Le point $T$ se trouve forcément sur cette droite, mais où exactement ?

— Ha ! Ça fait comme une éclipse du soleil, remarqua Octave. Le point $T$ c’est toi, $\mathcal{C}_1$ c’est la Lune et $\mathcal{C}_2$ c’est le Soleil. La Lune te cache exactement le Soleil, alors qu’il est beaucoup plus grand.

— Oui, c’est bien beau tout ça, mais ça ne nous avance pas beaucoup, interrompit Diagonale. Mais Octave, décidé à user de son esprit créatif, poursuivit :

— Et d’ailleurs, si on suppose qu’il y a une fourmi sur la Lune, elle pourrait cacher une fourmi méga-géante sur le Soleil. Ladite fourmi devrait, bien sûr, être ignifugée. »

Et Octave se mit a dessiner les deux fourmis.

« Arrête de dessiner sur ma figure ! » s’écria Diagonale. Puis elle dit : « Oh ! je crois que j’ai compris... »

— Si je trace la droite qui passe par les antennes gauches de tes fourmis elle va justement passer par le point $T$ que je cherche, puisque l’une des fourmis cache exactement l’autre... Ça ne t’embête pas si je prends des fourmis un peu simplifiées ? Par exemple des diamètres perpendiculaires à $(O_1O_2)$.

Diagonale se saisit de la règle et du compas :

— Alors, voilà, je trouve d’abord les centres des cercles $O_1$ et $O_2$, on sait déjà faire ça. Je trace la droite $(O_1O_2)$ sur laquelle je vois deux diamètres des deux cercles. Je trace les médiatrices de ces deux diamètres, on sait faire ça aussi. Ça me fait deux nouveaux diamètres qui vont jouer le rôle des fourmis. Finalement, je connecte les têtes des deux fourmis. Et — abracadabra ! — en prolongeant la droite, je tombe pile sur le point $T$ par lequel passent mes deux tangentes !

— Et tout ça grâce à mes fourmis ignifuges, rappela Octave, fier de lui. Il ne te reste plus qu’à trouver comment tracer une tangente sachant qu’elle passe par $T$. Ah oui, suis-je bête, c’était l’un des exercices d’avant. Donc en fait, on a résolu le problème.

Solution définitive.

Nous allons supposer que ${\mathcal C}_1$ est le plus petit cercle et ${\mathcal C}_2$ le plus grand. Nous noterons $r$ et $R$ leurs rayons respectifs et $d$ la distance entre leurs centres $O_1$ et $O_2$. Montrons qu’il existe un point $T$ sur la droite $(O_1 O_2)$ tel que l’homothétie de centre $T$ et de rapport
\[ \frac{R}{r} \]
transforme ${\mathcal C}_1$ en ${\mathcal C}_2$. Pour trouver ce point $T$, il suffit de résoudre l’équation
\[ \frac{R}{r} \overrightarrow{T O_1} = \overrightarrow{T O_2}, \]
ce qui se fait facilement :
\[ \frac{R}{r} \overrightarrow{T O_1} = \overrightarrow{T O_1} + \overrightarrow{O_1 O_2}, \]
\[ \left( \frac{R}{r} -1 \right) \overrightarrow{T O_1} = \overrightarrow{O_1 O_2}, \]
\[ \overrightarrow{T O_1} = \frac{r}{R-r} \overrightarrow{O_1 O_2}. \]
Ceci détermine le point $T$ de manière unique. Avec ce choix de point $T$, l’homothétie de rapport
\[ \frac{R}{r} \]
transforme bien $O_1$ en $O_2$ et donc le cercle de centre $O_1$ et de rayon $r$ en le cercle de centre $O_2$ et de rayon $R$.

Traçons les diamètres $[A_1 B_1]$ et $[A_2 B_2]$ de nos deux cercles perpendiculairement à la droite $(O_1O_2)$. La droite $(TA_1)$ est invariante par l’homothétie, alors que le diamètre $[A_1 B_1]$ est transformé en le diamètre $[A_2 B_2]$. Par conséquent le point $A_2$ se trouve sur la droite $(TA_1)$. Une autre manière de dire la même chose est que le point $T$ se trouve sur la droite $(A_1 A_2)$. De même, il se trouve sur la droite $(B_1 B_2)$. Autrement dit, c’est le point d’intersection de ces deux droites.

Traçons maintenant une tangente au cercle ${\mathcal C}_1$ passant par $T$. Comme prédédemment, cette tangente est invariante par l’homothétie, tandis que le cercle ${\mathcal C}_1$ est tranformé en ${\mathcal C}_2$. Par conséquent la même droite est également tangente au cercle ${\mathcal C}_2$.

Nous aboutissons à la construction suivante.

Trouvons les centres $O_1$ et $O_2$ des deux cercles. Traçons la droite $(O_1 O_2)$. Traçons les diamètres $[A_1 B_1]$ et $[A_2 B_2]$ des deux cercles perpendiculairement à la droite $(O_1 O_2)$. (Les points $A_1$ et $A_2$ doivent se trouver d’un côté de la droite $(O_1 O_2)$ et les poins $B_1$ et $B_2$ de l’autre côté.) Traçons les droites $(A_1 A_2)$ et $(B_1B_2)$ et notons $T$ leur point d’intersection. Traçons les tangentes à ${\mathcal{C}_1}$ passant par $T$. Ces tangentes seront également tangentes à ${\mathcal{C}_2}$.

Exercice.

Comme dans l’exercice précédent, deux cercles de rayons différents, $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$, sont dessinés sur le plan, l’un à l’extérieur de l’autre. Diagonale et Octave ont tracé deux tangentes communes à ces deux cercles. Or, au total, il y en a quatre. Tracer les deux tangentes communes qui manquent.

Solution.

Comme dans l’exercice précédent, on trouve d’abord les centres des cercles $O_1$ et $O_2$. On trace la droite $(O_1O_2)$ sur laquelle on voit deux diamètres des deux cercles. On trace les médiatrices de ces deux diamètres, ce qui fait apparaître deux nouveaux diamètres qui vont jouer le rôle des fourmis. Finalement, on connecte la tête d’une des fourmis à la queue de l’autre. La droite ainsi obtenue coupe $(O_1 O_2)$ au point $T'$ par lequel passent les deux autres tangentes.

Exercice.

Deux cercles de même rayon, $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$, sont dessinés sur le plan l’un à l’extérieur de l’autre. Tracer leurs quatre tangentes communes.

Solution.

On commence de la même manière qu’avant. On trouve d’abord les centres des cercles $O_1$ et $O_2$. On trace la droite $(O_1O_2)$ sur laquelle on voit deux diamètres des deux cercles. On trace les médiatrices de ces deux diamètres, ce qui fait apparaître deux nouveaux diamètres qui vont jouer le rôle des fourmis.

En connectant respectivement les têtes et les queues des fourmis, on trouve cette fois-ci deux droites parallèles à $(O_1 O_2)$. Il n’y a donc pas de point $T$, mais ces deux droites sont justement deux tangentes communes.

En connectant la tête de l’une des fourmis à la queue de l’autre on trouve, comme précédemment un point $T'$ par lequel passent encore deux tangentes communes. Ce point est en réalité le milieu de $[O_1 O_2]$, donc on aurait pu le construire plus facilement.

— Bon, maintenant je vais pouvoir aller jouer du piano et composer une chanson sur les constructions à la règle et au compas, déclara Octave.

— Je voudrais bien savoir jouer du piano comme toi, dit Diagonale.

— Qu’est-ce que tu crois ? Ce n’est pas pour rien que je m’appelle Octave !


Une fois Octave parti, Diagonale reprit la tablette, cliqua sur « exercices supplémentaires » et se mit à mâchouiller son crayon pour mieux réfléchir.

Exercice 9.

Un angle (formé par deux demi-droites issues d’un même point) est dessiné sur le plan. Tracer sa bissectrice.

Exercice 10.

Un angle est dessiné sur le plan. Tracer un cercle tangent aux deux côtés de l’angle.

Exercice 11.

Un triangle est dessiné sur le plan. Tracer son cercle inscrit.

Exercice 12.

Un segment $[AB]$ est dessiné sur le plan. Tracer un segment exactement trois fois plus long.

Exercice 13.

Un segment $[AB]$ est dessiné sur le plan. Tracer un segment exactement $\sqrt{2}$ fois plus long.

Exercice 14.

Un segment $[AB]$ est dessiné sur le plan. Divisez-le en trois parties égales, puis en cinq parties égales.

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Pour citer cet article :

Dimitri Zvonkine — «Constructions à la règle et au compas 1» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Constructions à la règle et au compas 1

    le 15 décembre 2013 à 15:08, par Jean Mathieu - Turquais

    Bonjour
    Excellent et merci d’avoir pensé à ce sujet. Malheureusement, l’on ne trouve plus guère de règle non graduée, et pourtant, j’aurais aimé retomber en enfance. (J’ai déjà retrouvé les porte-plumes et les plumes Sergent Major des années 1950 !). Il est regrettable que l’on enseigne plus la construction de figures à la règle et au compas, tout comme le calcul mental. Personnellement, j’ai toujours préféré ce type de construction à celles avec une règle graduée que je juge « trop facile » !Là, j’en redemande. Une suite, peut-être ?
    La géométrie me semble de plus en plus délaissée ; mais peut-être est-ce juste une impression.
    Jean.

    Répondre à ce message
  • Constructions à la règle et au compas 1

    le 15 décembre 2013 à 15:16, par Dimitri Zvonkine

    Merci pour ce message ! La suite est en effet prévue pour 2014. Ce n’est pas par hasard qu’il y a un numéro 1 dans le titre de l’article, il y aura normalement encore trois épisodes.

    Répondre à ce message
  • Constructions à la règle et au compas 1

    le 22 décembre 2013 à 10:31, par Serma

    Merci pour cet article !
    Je suppose que tout le monde connaît cet ouvrage : « Pratique du compas »

    Répondre à ce message
  • Constructions à la règle et au compas 1

    le 3 novembre 2014 à 15:56, par Thierry Barbot

    Alors ? La suite ? On attend !

    Répondre à ce message
  • Constructions à la règle et au compas 1

    le 4 novembre 2014 à 17:54, par Dimitri Zvonkine

    Ça sera le cadeau de Noël.

    Répondre à ce message

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