Corte de Airy y teorema de Pitágoras

Piste verte Le 4 septembre 2011  - Ecrit par  Serge Cantat
Le 11 mars 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Découpage d’Airy et théorème de Pythagore Voir les commentaires
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Un corte elegante que data del siglo XIX y permite ilustrar el teorema de Pitágoras. Las tres piezas del puzzle pueden ser enganchadas para hacer un juguete de una sola pieza.

La construcción presentada aquí se debe al astrónomo Airy, data de las cercanías de 1855 [1], y da lugar a una linda prueba ’’mecánica’’ del teorema de Pitágoras, que explicaremos al final de este texto. Pero comencemos por explicar este corte de Airy.

La construcción

En una hoja de papel trace dos cuadrados juntos. Un lado del cuadrado grande prolonga el lado del pequeño para formar un segmento largo. Se obtiene la siguiente figura :

Dos cuadrados pegados

Aquí, el cuadrado pequeño es colocado a derecha, y hemos elegido por longitudes a 3 y 4 (aunque, evidentemente, hubiésemos podido escoger cualquier longitud).

Colóquese ahora en el extremo del segmento largo que corresponde al vértice del cuadrado grande, y marque desde allí la longitud del lado del cuadrado pequeño. Dibuje entonces dos trazos, cada uno uniendo el punto obtenido con un vértice opuesto de un cuadrado, como en la figura de abajo.

La figura de partida

Aparecen entonces dos triángulos idénticos. Ambos tienen un ángulo recto, y los lados que nacen de ese ángulo tienen la misma longitud en cada uno de los dos triángulos (es decir $3$ y $4$ en el caso de la figura presentada aquí). Para clarificar, coloreamos el dibujo :

La misma figura pero pintada

Después de haber recortado cada una de las tres piezas de este puzzle, podemos mantener juntas dos esquinas y hacer girar suavemente cada uno de los triángulos alrededor de esa esquina, como aquí :

Para quienes no quieren girar la cabeza, obtenemos este cuadrado :

Si usted no tiene ganas de elaborar su propio recorte de Airy pero quiere jugar en su computador, puede utilizar el siguiente archivo de Geogebra, ofrecido amablemente por Christophe Boilley :

GeoGebra - 2.1 ko

Y el teorema de Pitágoras

Aquí están entonces algunos comentarios finales.

Denotemos $a$ la longitud del lado del cuadrado pequeño, $b$ la longitud del lado del cuadrado grande, y $c$ la longitud del lado grande de los triángulos rectángulos que aparecieron (es decir, la hipotenusa de ese triángulo con ángulo recto). En nuestro ejemplo, tenemos por lo tanto $a=3$ y $b=4$. La pieza inicial tiene un área total que es igual a la suma de los dos cuadrados :
\[ Área= a \times a + b \times b. \]
La figura final es un cuadrado de lado $c$, y su área por lo tanto es igual a $c\times c$.
Ya que no hubo pérdida ni ganancia de área durante la transformación, obtenemos
\[ Área = a \times a + b \times b = c\times c, \]
es decir $a^2 + b^2 = c^2$. Esto no es otra cosa que el teorema de Pitágoras : en un triángulo de ángulo recto, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. En nuestro ejemplo, el lector podrá verificar que $c=5$ (utilizar el teorema de Pitágoras o medir sobre la pantalla).

Una última propiedad de esta figura, por simple gusto. En vez de hacer girar los dos triángulos alrededor de vértices fijos, podemos desplazarlos por traslación.
El triángulo de arriba a la derecha será trasladado hacia abajo a la izquierda, y el de la izquierda trasladado abajo a la derecha. De nuevo aparece un cuadrado, en el cual los triángulos rosado y violeta han sido permutados.

Para terminar, señalemos simplemente que la existencia de un puzzle que permite pasar de la figura inicial a un cuadrado de igual área reensamblando sus piezas pone de relieve un principio general : tales recortes existen para todos los polígonos del plano. Es el teorema de Wallace, Bolyai y Gerwien, explicado en el artículo de Daniel Perrin en este sitio. Lo que es más sorprendente con la construcción de Airy es que el puzzle contiene solo tres piezas, y que ellas pueden estar unidas en dos vértices por medio de articulaciones. Esto permite realizar modelos de madera que uno puede llevar consigo sin perder nunca una de las tres piezas. Para impresionar a los amigos... o para tener ejemplares en el colegio y hacer que los alumnos los manipulen sin tener que reconstituirlos una vez que termine la clase.

Post-scriptum :

La redacción de Images des Maths, así como el autor, agradecen por su atenta relectura a los relectores cuyos seunónimos son : thoms, Bruno Duchesne, bedaride nicolas y Christophe Boilley.

Notes

[1Según las fuentes, la construcción se debe a George Biddle Airy, o a Philip Kelland. Más exactamente, el libro de Greg N. Frederickson titulado ’’Dissections, Plane and Fancy’’ estipula que G. B. Airy la compartió a W. R. Hamilton en 1855, mientras que John Bryant y Chrys Sangwin se basan en un texto de P. Kelland de 1864 (vea el libro titulado ’’How Round Is Your Circle’’).

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Corte de Airy y teorema de Pitágoras» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - Imagen obtenida del sitio de Wikipedia, que representa a G. B. Airy, extraída a su vez del Popular Science Monthly, volumen 3.

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