Courbe brachistochrone

Le 28 janvier 2010  - Ecrit par  Hamza Khelif Voir les commentaires (4)

Si une particule est invitée à glisser sur une courbe dans un plan vertical, d’un point $A$ à un point $B$ plus bas, soumise uniquement à son poids, le temps requis pour effectuer la descente dépend de la forme de la courbe sur laquelle la particule glisse.
La droite $(AB)$ réalise la distance minimale mais ne réalise pas le temps minimal.

Ce problème apparait en 1633 chez Galilée qui écrit : « Il semble possible de conclure que le mouvement le plus rapide entre deux points n’a pas lieu le long de la ligne la plus courte, c’est-à-dire le long d’une droite, mais le long d’un arc de cercle » [1].

Jean Bernoulli pose clairement le problème en 1696 et des solutions furent aussitôt apportées par lui-même, par son frère Jacques Bernoulli, Newton, Leibniz, …
La courbe qui réalise ce temps minimal dite brachistochrone (terme utilisé par Jean Bernoulli), du grec brakhisto (le plus court) et chronos (temps) est définie par la représentation paramétrique
\[ x(t) \; = \; a({t}-sin{t}), \qquad {y(t)} \; = \; {-a}(1-cos{t}) \]
(où $2{a}$ est la perte d’altitude par rapport au point de départ) et s’appelle cycloïde (ici une cycloïde renversée et telle que la verticale en $A$ est tangente à la courbe). Une cycloïde est la courbe décrite par un point fixé sur un cercle (de diamètre $2{a}$) qui roule sans glisser sur une droite [2].

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Pour trouver sa solution, au lieu d’une particule soumise à son poids, Jean Bernoulli considéra un rayon de lumière traversant différents milieux [3]. La vitesse de la lumière dépend du milieu traversé. Lorsqu’elle traverse la frontière d’un milieu à un autre elle est réfractée. Le principe de Fermat établit que lorsque la lumière traverse la frontière d’un point à un autre elle suit le chemin le plus rapide.
La recherche des méthodes pour résoudre le problème de la courbe brachistochrone a donné naissance à ce qu’on appelle en Mathématique Le calcul des variations.
On trouve des solutions détaillées à ce problème, par exemple, dans [4] et [5].

La cycloïde (telle que les points de rebroussement soient vers le haut) jouit aussi de deux autres propriétés : elle est isochrone (la particule lâchée sur une arche a un mouvement périodique dont la période est indépendante du point où on lâche la particule), et elle est tautochrone (le temps nécessaire pour atteindre $B$ est indépendant du point de la courbe d’où on lâche la particule avec une vitesse initiale nulle).


Références

John C. BRIXEY, Richard V.ANDREE. Fundamentals of College Mathematics. Holt, Rinehart and Winston, Inc. 1961.

Galilée. Discours concernant deux sciences nouvelles, (th. XXII, prop. XXXVI), (1633). Rééd. PUF, 1995.

V. GUTENMACHER, N. B. VASILYEV. Lines and Curves. Birkhäuser Boston, Inc. 2004.

Notes

[1Galilée. Discours concernant deux sciences nouvelles, (th. XXII, prop. XXXVI), (1633). Rééd. PUF, 1995.

[2Voir aussi le beau billet de Michèle Audin.

[3Voir la page de Paul Kunkel.

[4Page associée sur mathcurve.

[5Page associée sur Wolfram MathWorld.

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Pour citer cet article :

Hamza Khelif — «Courbe brachistochrone» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

  • Courbe brachistochrone

    le 1er février 2010 à 18:34, par barbara

    Juste une remarque sous forme de question : si les points A et B sont tels que l’arc de cycloide donnant la trajectoire la plus rapide descend plus bas que B, puis remonte ensuite vers B (tres etonnant en soi !), la courbe ne peut pas etre tautochrone.

    En effet, si je pars a vitesse nulle du point le plus bas, je ne bouge pas, et n’atteindrai jamais B.

    Cette propriete ne peut etre vraie qu’en restriction a une portion descendante de la cycloide, pour atteindre le point le plus bas.

    OU alors, quelque chose m’echappe ?

    Bien cordialement
    Barbara Schapira

    Répondre à ce message
  • Courbe brachistochrone

    le 2 février 2010 à 12:54, par Hamza Khelif

    Bien entendu, le point B est le point le plus bas de l’arc tautochrone AB.

    Répondre à ce message
  • Courbe brachistochrone

    le 18 mars 2010 à 11:41, par François Brunault

    Merci pour cet article. J’ai toujours beaucoup aimé ce mot « brachistochrone ».

    Une question également : sans rentrer dans les détails de la solution de ce problème, existe-t-il une explication simple du fait que pour aller de A à B en temps minimal, on doive partir de A avec une pente verticale ?

    Bien cordialement à vous.

    François Brunault

    Répondre à ce message
    • Courbe brachistochrone

      le 11 mai 2010 à 19:20, par Hamza Khelif

      Excusez moi François, je n’ai vu votre message qu’aujourd’hui. Je ne suis pas expert et j’étais personnellement satisfait de l’explication suivante.

      Selon le principe de Fermat, la loi de la réfraction indique que le long de sa trajectoire, un rayon de lumière obéit à la loi sin(theta)=v * constante, où theta est l’angle avec la verticale. En remplaçant v par la valeur
      v = (2gh)^(1/2) fournie par la loi de la conservation de l’énérgie on voit qu’au départ, lorsque la vitesse v est nulle, l’angle theta est nécessairement nul. Ce qui fait que la courbe est au point de départ tangente à la verticale.

      Répondre à ce message

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