Extrait du Chapitre 5 - Les courbes dans la nature, l’art et le dessin

La spirale d’Archimède

Le mathématicien grec Archimède étudia cette spirale en 225 av. J.-C. dans son
traité Des spirales, dans lequel il l’utilise pour résoudre deux des trois grands problèmes
de l’Antiquité : la trisection de l’angle et la quadrature du cercle. Cette
spirale est la courbe d’un point en déplacement uniforme sur une droite d’un plan,
cette droite tournant elle-même uniformément autour d’un de ses points : c’est, par
exemple, la courbe du sillon d’un disque vinyle. Le point $(0,0)$ est le centre de rotation,
il est un cas limite de spirale d’Archimède de rayon $r = 0$ et d’angle $\theta = 0$. Il s’agit
d’une courbe transcendante. Les coordonnées polaires de la spirale suivante sont
$r = 5\theta$ pour un pas de $10 \pi \cong 31,42$. Son équation paramétrique s’écrit :

\[ \left\{ \begin{array}\\x= 5t\text{cos}(t)\\ y= 5t\text{sin} (t) \end{array} \right.\]

Le fait que la spirale soit une figure très facile à dessiner explique pourquoi elle est
utilisée comme motif ornemental depuis la nuit des temps. Par exemple, le potier n’a
qu’à placer le pinceau sur l’objet et le laisser se déplacer dans une direction donnée
depuis le centre jusqu’au bord, à vitesse constante, sur son tour. On trouve des spirales
sur certains tombeaux datant de l’âge du bronze, sur des poteries grecques et étrusques
de l’Antiquité, et ornant des céramiques populaires, comme des assiettes. Les Celtes
créèrent un motif à trois spirales tournant dans les deux sens à l’intérieur
d’un cercle, qui ornait parures et bijoux, symbolisant la dualité des forces qui sont en constante
interaction dans la nature et l’équilibre que représente le chiffre trois.

Cette spirale a des propriétés très particulières. Par exemple, l’aire de la spirale
lors de la première spire vaut le tiers de l’aire du disque qui la contient.

La spirale d’Archimède est presque universellement utilisée comme profil de la
came d’un organe mécanique, un moteur par exemple. Les cames des engrenages ont
très souvent des profils à spirale d’Archimède car en inversant les propriétés de la courbe
et en faisant pivoter la spirale d’Archimède autour de son centre, les tangentes à la développante
ayant une direction donnée se déplacent en un mouvement de translation
uniforme grâce à un ressort de rappel, comme le montre l’illustration suivante :
— 

Mécanisme à came formé de deux arcs de spirale d’Archimède.

[...]

La chaînette

La chaînette, ou catenaria sous sa forme latine, est l’aspect pris par un fil flexible infiniment
mince et inextensible suspendu par ses extrémités, et soumis uniquement à son
propre poids. Galilée se trompait lorsqu’il considérait que la solution à ce problème
devait prendre la forme d’une parabole. Leibniz, Huygens et Jean Bernoulli ont montré
en 1691 que cela était faux et écrivirent son équation correcte.

[...]

La section transversale de la voilure d’un
bateau gonflée par le vent est également une
chaînette, car la force horizontale que le vent
exerce sur la voile est similaire à l’action de la
force de gravitation sur une chaîne, comme le
montrent les photos.

Jacques Bernoulli
appela d’ailleurs cette courbe « vélaire », car elle lui faisait penser à une voile.

Si l’on fait rouler une parabole le long d’une droite, le foyer de la parabole décrit
la courbe d’une chaînette. Au voisinage de son sommet, une chaînette ressemble
beaucoup à une parabole,
bien que la parabole ait une plus grande flèche que la chaînette.

La chaînette a pour propriété d’être le lieu géométrique des points sur lesquels
les tensions horizontales d’un câble se compensent. De cette façon, le câble ne subit
pas de tensions latérales et ne se balance pas sur les côtés. Les tensions sont donc
réparties entre une force verticale (l’attraction terrestre) et une tension tangente au
câble en tout point, qui permettent à ce dernier d’être constamment tendu.

Considérons un élément architectural structurel linéaire soumis à des charges
verticales : l’axe barycentrique (l’axe de symétrie de la section d’un élément)
décrira naturellement la courbe d’une chaînette pour diminuer les tensions sur les
matériaux de cet élément structurel. On utilise cette propriété pour construire
des arches. La courbe de chaînette renversée est la forme d’une arche (ou d’un
arc) qui compensera le plus les efforts de compression de cette structure. Voilà
pourquoi les architectes ont principalement recours à la chaînette pour construire
une arche ou un arc. Elle fut utilisée notamment par l’architecte espagnol Antoni
Gaudí.

Illustration mathématique d’un modèle de chaînette et modèle en 2D d’une chaînette de la Casa Vicens de Gaudí.

Considérons une arche ayant la forme d’une chaînette : la tension que cette
structure supporte en chaque point est répartie entre une composante verticale,
celle qui devra supporter l’arche en elle-même, et une composante de pression,
transmise par l’arc aux fondations de la structure sans que cela entraîne d’efforts
horizontaux, si ce n’est aux extrémités de l’arche. Les murs des églises romanes
soutenant les arcs en demi-cercle des portes et des fenêtres étaient toujours très
épais pour éviter qu’ils ne se fissurent. Les architectes du Moyen Âge ne trouvèrent
pas non plus la forme idoine pour transmettre les efforts latéraux, bien que les
ogives des monuments gothiques se rapprochent de la chaînette. Il leur fallait donc
concevoir des arcs-boutants qui contrebutaient la poussée latérale des arcs et absorbaient
et transmettaient les tensions horizontales vers les fondations.

Pour une même longueur entre les points suspendus, la parabole est moins pointue
que la chaînette (qui produit une plus grande flèche). Si un pont voûté décrit une
courbe parabolique, la flèche (le point le plus bas du pont, en son centre) est légèrement
plus basse que pour une chaînette. Le poids du câble d’un pont suspendu peut paraître infime par rapport au poids total de ce dernier, et pourtant le câble
décrit
une courbe parabolique.

Pour ce qui est des caténaires qui alimentent les trains, le fil supérieur et le fil de
contact font le même poids ; on peut donc appliquer le raisonnement précédent.
En réalité, il y a très peu de fils de suspension et le fil supérieur a plutôt la forme
d’une ligne polygonale.

La Gateway Arch de Saint-Louis, dans le Missouri, a une forme de chaînette.

Sommaire du livre

Pour aller plus loin

• Elliptique, hyperbolique, pourquoi ? (billet des habitués).

• Courbe équicordale (billet des habitués).

• Le triangle de Reuleaux ( piste verte).

• La courbe verte en cloche ( piste verte).

• Le logo du CNRS (piste bleue).

• La courbe bleue en cloche (piste bleue).

• Un ensemble-limite (piste bleue).

• La courbe de Menger (piste rouge).

• Droites tropicales (piste rouge).

• Représentations galoisiennes et théorème de Fermat-Wiles (piste noire).

• Géométrie Anamorphique II (hors-piste ) .