Crochet floral

Piste verte Le 12 juillet 2014  - Ecrit par  Serge Cantat Voir les commentaires (5)

Il y a peu, l’université de Stony Brook accueillait une exposition d’ouvrages de dames : on y trouvait des réalisations très colorées en crochet. Il s’agit à la fois de passe-temps, d’art, et de mathématiques !

Crochet, canevas, quilt, etc

Il y a quelques mois, j’ai pris l’avion pour New York, puis le train pour Long Island : direction Stony Brook. Il y a là une université et un centre de mathématiques et sciences physiques un peu spécial : le « Simons Center for geometry and physics ». Financé par le mathématicien Simons, devenu homme d’affaires talentueux, ce centre de recherche organise de multiples activités scientifiques.

Dans le hall d’entrée, on pouvait observer une exposition « d’ouvrages de dames » [1]. En voici un, pris en photo par mes soins :

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Corail en crochet de Gabriele Meyer (d’après Daina Taimina)

Comment ce corail coloré tricoté (ou plutôt crocheté) par Gabriele Meyer a-t-il bien pu gagner sa place à l’entrée d’un laboratoire scientifique ? La réalisation est magnifique ! C’est déjà une raison suffisante (au Simons Center, il y a aussi des peintures qui n’ont strictement rien à voir avec les mathématiques ou les sciences physiques).
Il y a toutefois une autre raison, moins évidente : ce tricot floral illustre
un phénomène géométrique que nous allons maintenant décrire. [2]

Compter des carreaux

Observez un carrelage dont les carreaux sont tous des carrés de même taille,
ou alors une feuille de papier quadrillé, par exemple du papier millimétré.
Partez d’un carreau situé au centre de la feuille, puis comptez les carreaux qui le
bordent : il y a en a huit, quatre d’entre eux le touchent le long d’un côté
et les quatre autres le touchent seulement en un coin. C’est la première
couronne. Passons à la seconde couronne : elle comporte maintenant seize petits carreaux.
Il y en a douze qui touchent la première couronne par un côté, et
il y en a quatre autres dans les coins.

La première couronne formait un grand carré dont la longueur des côtés est égale à trois unités. Pour la seconde couronne, on obtient un carré dont le côté a cinq unités. La troisième couronne fait apparaître $24$ nouveaux petits carreaux, et forme un carré de taille $7$. Lorsque l’on continue ainsi de suite, on obtient la liste suivante :

  • longueur du côté de la couronne : $1$, $3$, $5$, $7$, $9$, $11$, $13$, ...
  • nombre de carreaux dans la couronne : $1$, $8$, $16$, $24$, $32$, $40$, $48$, $56$, ...

Les longueurs des carrés ainsi construits sont les nombres impairs ; à l’étape $n$, par exemple
pour la couronne construite à l’étape $n=47$, il y a $4n-4$ carreaux, donc $4\times 47-4= 184$
carreaux pour l’exemple de la quarante-septième couronne. Les formules précises ne sont pas importantes
pour ce que l’on va observer aujourd’hui. Ce qui est important, c’est que le nombre de carreaux
de la couronne numéro $n$ est grosso-modo proportionnel à $n$ (le facteur de proportionnalité est égal à $4$).

Reprenons maintenant la même construction, mais en considérant un pavage hexagonal, et profitons-en pour présenter un autre artiste des mathématiques, Henry Segerman :

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Pavage hexagonal lumineux (réalisation de Henry Segerman)

Pour ces hexagones, le carreau de départ a six voisins, donc la première couronne est constituée de six carreaux. La seconde couronne est constituée de douze carreaux, la troisième de dix-huit carreaux, la quatrième de vingt-quatre, etc. On trouve encore une croissance qui est proportionnelle au nombre d’étapes.

Un arbre

Considérons maintenant l’exemple d’un arbre idéalisé, un arbre de mathématicien.
Il y a un tronc, duquel partent deux branches. Chaque branche ramifie alors en deux nouvelles branches, puis chacune d’entre elles se sépare à nouveau en deux branches, etc.

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Un arbre idéal (dû à Nicolas Janey)

Ce processus itératif conduit au nombre de branches suivant : $2$ partent du tronc, puis l’on a $4$ branches de seconde génération, puis $8$ branches, $16$ branches, $32$, $64$, $128$, $256$, $1024$, $2048$, $4096$, etc. Le nombre de branches
après $n$ ramifications est égal à $2^n$, c’est-à-dire à $2$ fois $2$ fois $2$ ... répété $n$ fois. C’est un comportement exponentiellement rapide. Par exemple, à la $47$-ème génération il y a
\[ 140737488355328 \]
branches si je ne me suis pas trompé. Il faut comparer cette quantité aux $184$
carrés de la $47$-ème couronne du pavage du plan par des carrés. La croissance exponentielle est bien plus rapide que la croissance linéaire !

Un pavage imaginaire ?

On se donne maintenant une collection infinie de « carrés », que l’on va coller les uns aux autres progressivement en imposant deux contraintes.
Pour expliquer ces contraintes, reprenons l’exemple du pavage du plan par des carrés ou des hexagones.

Dans le cas du pavage carré, chaque côté est le bord de deux carreaux adjacents, chaque sommet est commun à quatre carreaux exactement, et chaque carreau est entouré d’exactement huit autres carreaux. Ces propriétés sont partout valables : elles peuvent être vérifiées au voisinage de n’importe quel carreau [3]. Pour le pavage hexagonal, chaque côté est commun à deux hexagones, chaque sommet à trois hexagones, et chaque hexagone est donc bordé par six voisins.

Imposons maintenant de nouvelles contraintes pour notre pavage ; les voici :

  • chaque côté est commun à exactement deux « carrés » (on va coller les « carrés » les uns aux autres le long d’un côté commun)
  • chaque sommet est commun à exactement $5$ « carrés ». Nous sommes donc passés de $4$ à $5$ pavés autour de chaque sommet : il y aura un peu plus de « carrés » autour de chaque sommet.

J’ai écrit « carré » entre guillemets car il ne faut pas penser à de vrais carrés à angles droits tracés puis découpés dans le plan. Il est préférable d’imaginer des pièces de
feutrine ou de caoutchouc flexible qui sont identiques, qui ont chacune $4$ côtés courbés, et dont les angles aux sommets
sont égaux à un cinquième de tour (angle $2\pi/5$). Peut-on alors coller les pièces avec les contraintes imposées, et qu’obtient-on ? Voici un exemple qui montre l’agencement combinatoire auquel je voulais parvenir :

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Pavage par des pièces à quatre côtés, avec cinq pièces autour de chaque sommet. (wikimedia commons)

Les carreaux verts représentés sur cette figure deviennent de plus en plus petits à mesure que l’on s’éloigne du centre, mais la structure combinatoire globale de cet agencement satisfait aux contraintes imposées. [4]

Comptons le nombre de pièces dans chaque couronne. On trouve $1$, puis $12$, puis $48$, puis $180$, et il se trouve que la croissance du nombre de pièces dans la couronne numéro $n$ est exponentiellement rapide, comme dans l’exemple de l’arbre idéal. La croissance exacte n’est pas facile à obtenir, mais l’on peut montrer que le nombre de carrés dans la couronne numéro $n$ est supérieur à $2^n$. [5] Si vous désirez vous familiariser avec ces pavages étranges et que vous aimez la couture, vous pouvez aussi confectionner un manteau dont le patron est constitué d’un pavage par pentagones : c’est ici.

Retour au crochet

Dans la figure précédente les pièces du pavage sont de plus en plus petites à mesure
qu’on s’éloigne du centre de la figure, et ce n’est pas un hasard : on ne pourrait pas dessiner un tel pavage du plan avec des pavés de même taille [6].

Si l’on cherche à réaliser progressivement un tel agencement avec des pièces de feutrine qui ont toutes la même superficie, on obtient une surface dont le bord croit extrêmement vite. C’est ce principe qui conduit aux sculptures tricotées par Gabriele Meyer et Daina Taimina. Lors de l’exécution du crochet, de plus en plus de points sont ajoutés à chaque étape sur le pourtour de la sculpture. On peut par exemple démarrer avec le patron d’un napperon, mais au lieu de suivre le schéma indiqué on répète volontairement les figures élémentaires un plus grand nombre de fois, par exemple en mettant cinq carrés autour de chaque sommet au lieu de quatre (ou quatre hexagones autour de chaque sommet au lieu de trois). L’accroissement est tel que le crochet effectué ne peut rester plan : il se tortille, s’enroule, boucle, pour pouvoir s’agencer convenablement dans l’espace.
La réalisation exacte, le choix des couleurs, la taille finale de la sculpture, c’est une autre histoire, et c’est là que réside l’art de Gabriele Meyer. D’ailleurs, la plupart des sculptures réalisées ne suivent pas à la lettre le schéma que je décrivais, ceci pour mêler des phénomènes plans et courbés.

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« Nuage Blanc » (Gabriele Meyer)

Retour en Europe

De retour en Europe, je me suis rendu à une conférence à Louvain, en Belgique : ces phénomènes de croissance, qui sont directement liés à des propriétés de courbure, étaient présents (parfois un peu cachés) dans un bon tiers des exposés ! Entre-temps, à l’université de Rennes où je travaille, le laboratoire de sciences physiques avait organisé une conférence lors de laquelle un physicien expliquait comment courbure négative, croissance exponentielle, et sciences physiques permettaient de modéliser les pétales de jonquille : on observe en effet le même phénomène pour les fleurs de jonquille (observez le bord des pétales), ou pour certains choux et salades. Le monde est petit.

Jonquille

Post-scriptum :

Un grand merci à Josef Bayéma, Laurent Dietrich et Etienne Ghys pour leur relecture et leurs commentaires. Merci à Clément Caubel pour le lien vers le manteau hyperbolique de Jeffrey Weeks, à Vincent Guirardel pour m’avoir fait découvrir le programme d’Arnaud Chéritat (lors d’une autre conférence !), et à Araceli Bonifant qui m’a prêté son appareil photo à Stony Brook.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1Elaine Ellison, Gabriele Meyer, et Daina Taimina, sont toutes trois mathématiciennes ; voir ici la présentation de l’exposition et des trois artistes.

[2Pour autant que je sache, le crochet et le tricot ne sont pas des sujets d’étude mathématique ; mais l’on peut à la fois parler ici d’illustration de phénomènes mathématiques, et de mathématiques appliquées à l’art du crochet. Il existe un livre sur le sujet, « Crocheting adventures with hyperbolic planes », mais je ne l’ai pas consulté.

[3Bon, d’accord, si vous faites l’expérience dans votre cuisine, il ne faut pas prendre les carreaux du bord, ceux qui sont près des murs.

[4Je recommande d’utiliser l’applet java écrite par Arnaud Chéritat pour naviguer dans ce pavage étrange : rendez-vous ici et préciser que vous désirez des pièces à 4 côtés (des carrés) avec 5 pièces autour de chaque sommet. Vous pouvez aussi préciser si vous désirez un dessin à la Klein ou à la Poincaré. Enfin, en déplaçant votre souris sur la figure, vous pouvez naviguer.

[5Minoration par $2^n$.--- Pour montrer cela, on peut dénombrer les sommets qui sont sur le pourtour de la couronne $n$ et observer qu’un sommet du pourtour appartient à un seul carré, ou à deux carrés adjacents, mais jamais à trois carrés de la $n$-ème couronne. Il y a donc plus de sommets que de carrés, et chacun de ces sommets donne naissance à au moins trois nouveaux carrés.

Plus difficile.--- En fait, on peut donner une « formule » pour le nombre de carrés $car(n)$ de la couronne $n$. Plus précisément, on peut établir une relation de récurrence permettant de calculer $car(n+1)$ à partir de $car(n)$ et l’on peut calculer la « série génératrice associée ». (voir le livre de Pierre de la Harpe « Topics in Geometric Group Theory »)

[6Pour être précis, avec des pavés qui sont tous isométriques, chacun des pavés pouvant être juxtaposé parfaitement sur tout autre pavé après translation et rotation.

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Pour citer cet article :

Serge Cantat — «Crochet floral» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Photographie de Gabriele Meyer (Wisconsin University)

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