Crochet, objets mathématiques et surfaces de Seifert

Piste bleue Le 5 juin 2018  - Ecrit par  Rémi Molinier Voir les commentaires (2)

Quoi de mieux qu’un bout de laine enlacé pour étudier les nœuds ?

Le crochet est une technique permettant de nouer un fil de laine pour en faire plein d’objets différents : bonnets, écharpes, gants, napperons, pulls (pour les courageux)... Mais aussi des objets mathématiques comme des sphères,
Sphère en crochet {JPEG}
des rubans de Möbius (une présentation de cet objet mathématique peut être par exemple trouvée dans cet article parmi tant d’autres...),
Ruban de möbius en crochet {JPEG}
et plein d’autres surfaces biscornues.
Surface hyperbolique en crochet {JPEG}
Cette dernière par exemple est une surface hyperbolique mais un autre article en présente de beaucoup plus belles.
On peut aussi s’amuser à construire des surfaces de Seifert, ce qui est le thème de cet article.
Surface de Seifert en crochet {JPEG}

Les nœuds

En mathématique, un nœud est le plongement d’un cercle, qui peut s’enrouler sur lui-même, dans notre espace à 3 dimensions. En pratique, pour construire un nœud, il suffit de prendre un bout de ficelle ou de corde, de l’enrouler sur lui-même, et d’attacher les deux extrémités entre elles [1]. Le nœud le plus simple est le nœud trivial.
Noeud trivial {PNG}
Un autre nœud très connu (et que vous faites tous les jours en laçant vos chaussures [2]) est le nœud de trèfle.
Noeud de trèfle {PNG}
La théorie des nœuds est une branche très amusante et intéressante de la topologie où même le non-initié peut s’amuser et comprendre plein de choses. Le lecteur intéressé pourra commencer par cet article Math.en.JEANS, cet article sur Images des Mathématiques qui parle d’entrelacs (quand on considère plusieurs cercles entrelacés) ou encore cet article qui présente aussi quelques applications à la fin .

Le problème principal de la théorie des nœuds est de savoir si, étant donnés deux nœuds $K_1$ et $K_2$, on peut déformer continûment (et donc sans le couper) le nœud $K_1$ pour obtenir le nœud $K_2$ (ou inversement).
C’est une question difficile en général et les outils principaux pour les étudier sont les invariants. En théorie des nœuds, un invariant est une quantité [3] que l’on calcule directement sur un nœud et qui ne change pas quand on déforme continûment ce dernier. Ainsi, si on choisit un invariant et qu’on regarde deux nœuds, on peut calculer celui-ci sur chaque nœud. Si la quantité obtenue est différente, alors on ne peut pas déformer l’un pour obtenir l’autre. Cependant, si la quantité est la même, cela ne veut pas forcément dire que l’on pourra déformer l’un en l’autre... Il faut que l’invariant que nous avons choisi soit assez fin [4]. Ainsi, les théoriciens des nœuds ont énormément [5] d’invariants différents pour étudier les nœuds. Tout ceci n’est pas vraiment le sujet de cet article, mais le lecteur intéressé pourra commencer par les articles précédemment indiqués pour en apprendre plus et s’amuser un peu avec certains de ces invariants. Ici nous allons regarder de jolies surfaces que l’on peut construire à partir d’un nœud.

Surface de Seifert

Un cercle, c’est aussi le bord d’un disque.
Surface de Seifert du noeud trivial {JPEG}
Est-ce que cela reste vrai quand le cercle est entrelacé ? Par exemple, peut-on prendre un disque et le déformer de telle sorte qu’au final, en ne regardant que le bord, on obtienne le nœud de trèfle ? La réponse est non, tout simplement parce que le nœud de trèfle ne peut pas être dénoué (cet article, indiqué précédemment, explique pourquoi cela n’est pas possible). Cependant, dans les années 30, Frankl et Pontryagin [6] ont montré que, pour un nœud donné $K$, on pouvait toujours trouver une surface orientée (c’est-à-dire avec deux faces, ce qui n’est pas le cas du ruban de Möbius par exemple), plongée dans notre espace à 3 dimensions, dont le bord est exactement $K$. On appelle aujourd’hui ces surfaces des surfaces de Seifert. Voici par exemple une surface de Seifert pour le nœud de trèfle vue sous deux angles différents [7]

Vue 1

Surface de Seifert du noeud de trèfle {JPEG}
Réalisé au crochet, on obtient ça :
Surface de Seifert du noeud de trèfle en crochet {JPEG}

Vue 2

Surface de Seifert du noeud de trèfle {JPEG}
Réalisé au crochet, on obtient ça :
Surface de Seifert du noeud de trèfle en crochet {JPEG}

Pour un autre exemple, voici une surface de Seifert d’un nœud plus compliqué [8] réalisée au crochet [9].
Surface de Seifert en crochet {JPEG}

L’algorithme de Seifert

En 1934, Herbert Seifert donna une autre preuve de l’existence de ces surfaces en fournissant un algorithme qui permet de construire, à partir de n’importe quel nœud, une surface de Seifert associée. C’est d’ailleurs en son honneur que ces surfaces sont appelées ainsi. Cet algorithme est très simple à comprendre et à mettre en pratique.

Nous allons donc le décrire et l’illustrer sur un exemple. Munissez-vous de quatre couleurs. Ici nous choisirons le noir, le vert le rouge et le bleu.
Prenez alors votre nœud favori (par exemple ici le nœud de 8) et représentez-le en noir sur une feuille comme ici.
Noeud de 8 {JPEG}
Choisissez une orientation, c’est-à-dire un sens de parcours, comme indiqué dans l’exemple ici.
Noeud de 8 orienté {JPEG}
Maintenant, modifiez chaque croisement en suivant les instructions suivantes (n’hésitez pas à faire tourner votre feuille).
Algorithme de Seifert : résolution des croisements {JPEG}
Ce qui, dans notre exemple, donne cela.
Noeud de 8 avec croisements modifiés selon l'algoithme de Seifert {JPEG}
Ainsi, vous obtenez plusieurs parcours noirs sans croisement (ici 3) reliés par des croisements verts. Chaque parcours noir est en fait un cercle déformé sans croisement, comme le nœud trivial, c’est donc le bord d’un disque. Vous pouvez alors représenter ces disques en les coloriant, en bleu si les flèches tournent dans le sens horaire, et en rouge sinon (oubliez pour l’instant les croisements verts en faisant comme si ils n’étaient pas là).
Noeud de 8 avec croisements et disques suivant l'algorithme de Seifert {JPEG}
Attention, s’il y a un (ou plusieurs) cercle(s) à l’intérieur d’un autre cercle (comme dans l’exemple ici), il faut imaginer que les disques obtenus sont l’un au-dessus de l’autre. Les couleurs rouge et bleue vont représenter les deux faces du la surface finale. Aussi, il faut garder en tête que chaque disque représenté sur votre feuille a deux faces, une visible et une cachée, chacune d’une couleur différente (rouge ou bleue).
Enfin, les croisements verts vous indiquent comment relier ces disques par des bandes qui font un demi-tour. Sur votre dessin, et comme dans l’exemple ci-dessous, vous pouvez prolonger les couleurs des disques sur ces bandes pour mieux voir comment celles-ci s’articulent. Si la bande arrive par l’extérieur du disque, le bout rattaché au disque prend la couleur de la face visible de celui-ci alors que si elle arrive par l’intérieur, le bout prend l’autre couleur, celle de la face cachée. Si vous n’avez pas fait d’erreur, vous devriez bien avoir deux couleurs pour chaque bande car celle-ci fait un demi-tour et a bien une couleur pour chacune des deux faces de la bande.
Surface de Seifert du noeud de 8 obtenu par l'algorithme de Seifert {JPEG}
Vous avez ainsi obtenu le dessin d’une surface de Seifert associée à votre nœud de départ. Il vous suffit juste d’un peu d’imagination pour vous la représenter en 3 dimensions. Pour notre exemple, en changeant la taille des disques, on obtient ce qui suit.
Surface de Seifert du noeud de 8 {JPEG}
Cela donne, en déformant un peu plus, arrondissant les angles et changeant les couleurs, la belle surface suivante.
Surface de Seifert du noeud de 8 {JPEG}

Unicité des surfaces de Seifert ?

On pourrait se demander si, pour un nœud donné, il n’y a, à déformation continue près, qu’une surface de Seifert associée. La réponse est non. Si vous déformez votre nœud en augmentant ou diminuant le nombre de croisements quand vous le dessinez sur votre feuille, il y a de grandes chances que l’algorithme de Seifert vous fournisse une surface différente [10]. D’ailleurs la surface de Seifert en crochet donnée dans l’introduction est une surface de Seifert pour le nœud trivial qui est bien différente d’un disque. Cela vous donne un joli petit exercice de vérifier que le bord de cette surface est bien le nœud trivial. Pour vous aider, voici une photo prise sous un autre angle de vue.
Un autre surface de Seifert du noeud trivial {JPEG}

Cependant, certains invariants de nœud sont définis à partir de ces surfaces, comme le genre. Les surfaces de Seifert sont aussi utilisées pour des constructions plus complexes qui permettent, entre autres, d’obtenir d’autres invariants comme le polynôme d’Alexander.

Post-scriptum :

Merci à Pierre-Antoine pour m’avoir suggéré d’écrire cet article et pour ses suggestions d’amélioration.
Merci aussi à Emilie Devijver pour sa relecture attentive qui a permis d’améliorer la qualité de cet article. Enfin, merci aux relecteurs, Avner Bar-Hen, B !gre, Nicolas Chatal, gammella, et Arthur MILCHIOR, pour leurs corrections et suggestions très appréciées.

Article édité par Pierre-Antoine Guihéneuf

Notes

[1Vous vous demandez peut-être pourquoi on attache les deux extrémités alors que dans la vie de tous les jours les nœuds on deux bouts. Et bien, vu qu’en théorie des nœuds on regarde ceux-ci à déformation continue près, si vous gardiez les deux bouts détachés, tous les nœuds pourraient être dénoués... Ainsi, ça perdrait tout son intérêt !

[2Pour bien le voir il suffit de déplacer la boucle du haut vers le bas. On peut aussi le voir avec cette vidéo.

[3Cela peut être un nombre, mais aussi un polynôme ou un groupe, voire des objets mathématiques plus abstraits.

[4Il existe des invariants qui permettent de différencier tous les nœuds. On les appelle alors des invariants complets. Un exemple est donné par le complément du nœud. Mais ils sont en général difficiles à calculer ou à étudier...

[5En fait une infinité...

[6Selon Wikipédia qui indique, pour ceux qui savent lire l’allemand et ont accès aux publications Springer, cette référence : Frankl, F. ; Pontrjagin, L., Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Dimensionstheorie, Math. Annalen, 102 (1) : 785–789, 1930.

[7Les images faites par ordinateur ont été réalisées avec SeifertView un logiciel libre qui est disponible ici.

[8C’est un nœud torique de type $(5,2)$, il est obtenu en enroulant une ficelle autour d’un tore en faisant 2 grands tours et 5 tours autour du tube avant d’attacher les deux extrémités. En voici une représentation. Noeud torique de type {JPEG}

[9Voici cette surface avec SeifertView. Surface de Seifert du noeud torique de type {JPEG}

[10En fait, pour n’importe quel nœud $K$, on peut montrer qu’il y a une infinité de surfaces Seifert associées à $K$.

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Pour citer cet article :

Rémi Molinier — «Crochet, objets mathématiques et surfaces de Seifert» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Crédits image :

Image à la une - Rémi Molinier
Noeud de trèfle - By Jim.belk - Own work, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=9798622
Surface de Seifert du noeud de trèfle - Réalisé avec SeifertView (http://www.win.tue.nl/ vanwijk/seifertview/)
Surface de Seifert du noeud trivial - Réalisé avec SeifertView (http://www.win.tue.nl/ vanwijk/seifertview/)
Surface de Seifert du noeud de trèfle - Réalisé avec SeifertView (http://www.win.tue.nl/ vanwijk/seifertview/)
Surface de Seifert du noeud de 8 - Réalisé avec SeifertView (http://www.win.tue.nl/ vanwijk/seifertview/)
Noeud torique de type - Réalisé avec SeifertView (http://www.win.tue.nl/ vanwijk/seifertview/)
Surface de Seifert du noeud torique de type - Réalisé avec SeifertView (http://www.win.tue.nl/ vanwijk/seifertview/)

Commentaire sur l'article

  • Crochet, objets mathématiques et surfaces de Seifert

    le 6 juin à 14:42, par Raphaël Alexandre

    Chouette article, merci !

    Pour la non unicité des surfaces de Seifert, on peut aussi constater qu’ajouter une anse ne change pas le bord mais change la surface. (Et d’ailleurs il me semble de mémoire que le genre minimal d’une surface de Seifert pour un noeud constitue un invariant sympathique.)

    Répondre à ce message
    • Crochet, objets mathématiques et surfaces de Seifert

      le 11 juin à 09:51, par Rémi Molinier

      Merci pour ce retour et ces commentaires tout à fait pertinent ! :)

      Répondre à ce message

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