¿ Conoces este libro de Roger Nelsen ?

Cualquiera sea tu respuesta, te pido concentrarte en la figura de la portada, la cual ilustra la ’’prueba contemplativa’’ estándar de que la suma de los primeros $n$ números impares $1, 3, 5, ... , 2n-1$ es igual a $n^2$. Esta consiste en imaginar que el cuadrado grande se obtiene en la etapa $n$ de un proceso del tipo crecimiento de cristales. Este proceso comienza desde el mosaico ubicado en la esquina inferior izquierda, representado por un pequeño disco rojo en la portada del libro. En cada paso se agrega una nueva capa de mosaicos a lo largo de los lados derecho y superior del cristal obtenido en el paso anterior. Estas capas se representan sucesivamente por discos negros o rojos ubicados dentro de sus mosaicos.

Por una parte, el número total de mosaicos es igual a $n^2$, pues los lados del cuadrado grande son divididos en $n$ partes iguales. Por otra parte, este número es igual también a la suma de la cantidad de mosaicos en cada capa. Estas cantidades corresponden precisamente a los $n$ primeros números impares $1, 3, 5, ..., 2n -1$.

Observa ahora la imagen de portada de este artículo. Esta vez vemos un triángulo equilátero, con cada lado dividido en $n$ partes iguales. Al unir los puntos divididos mediante segmentos paralelos a los lados, el triángulo grande se divide en copias más pequeñas de sí mismo, todas del mismo tamaño. Contemos los mini-triángulos ubicados en las bandas formadas por dos segmentos paralelos sucesivos, comenzando desde uno de los vértices del triángulo grande. ¡Encontramos nuevamente los primeros $n$ números impares !

¿ Es posible obtener de esta manera una segunda prueba ’’contemplativa’’ de la identidad $1 + 3 + \dots + (2n-1) = n^2$ ? Para esto, habría que poder ver sin cálculos que el triángulo grande contiene exactamente $n^2$ mini-triángulos. ¿Puedes verlo ?

Si lo lograste, ¡felicitaciones ! Si no, observa esta figura extraída del mismo libro de Roger Nelsen, originalmente propuesta por Jeno Lehel [1] :

Entender esta demostración me da cierto placer. Es para compartirlo que he escrito esta Nota. Nunca había relacionado la identidad aritmética de arriba con la propiedad geométrica fundamental que señala que una dilatación de razón $n$ de cualquier figura geométrica plana multiplica su área por $n^2$ [2] !