¿Cuál es el sentido de (-3) en la multiplicación (-3)(-2) ?

Le 4 novembre 2012  - Ecrit par  Valerio Vassallo
Le 26 avril 2022  - Traduit par  Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier
Article original : Quel est le sens de (-3) dans la multiplication (-3)(-2) ? Voir les commentaires
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Este es un extracto del Correo de los Lectores que acabo de recibir y al cual respondo por medio de esta nota :

Fui interpelado por una alumna de liceo, quien me explicó que había sido estafada en la enseñanza básica cuando se le había construido la multiplicación...

Ella me dijo que : “(+2)+(+2)+(+2)=3*(+2)” o “(-2)+(-2)+(-2)=3*(-2)” le convenía y que comprendía, ahí, el sentido del “3”. Es a propósito que “3” no tiene signo.

En cambio resulta que, en esta construcción de la multiplicación, “(-3)*(-2)” no podía ser construida : ¿cuál es el sentido de ese “MENOS 3” ?

Yo soy su profesor de Ciencias Físicas y no sé qué responderle.

La noción de número es un problema muy difícil. Uno de los propósitos de la escuela primaria es permitirle al alumno saber contar antes de entrar a la secundaria. 1, 2, 3... bombones, bolígrafos, lápices... se utilizan muchos objetos para fijar en nuestras mentes los primeros números, tal vez hasta cien, y familiarizarnos con ellos. A veces, cuando pequeños, cantamos los números. También los vemos escritos por todas partes : en los calendarios, en los paneles contadores de nuestros autos, en los relojes despertadores, en los computadores, en la parte de abajo de las páginas de nuestros libros, en una regla tirada sobre el escritorio, en las botellas que hay en la cocina... Los dedos de nuestras manos nos intrigan desde la más temprana infancia, como sugiriéndonos que ahí hay una idea por descubrir.

¿Un mundo sin números ? No más notas, no más informes... nada de complicaciones ni relojes que suenen en la mañana para decirnos que es hora de levantarse.

Un mundo sin números no sería el mundo actual. Borrar los números de nuestra cultura significaría borrar de golpe el mundo que nos rodea actualmente.

Se necesitó siglos para pasar de los números naturales a los números enteros, luego a los números racionales, después a los números irracionales y después a los números complejos.

¡Qué descubrimiento esta noción del número ! Tan profunda y tan cercana -al alcance de la mano- que permanece como una de los más hermosas invenciones del pensamiento humano. Como la rueda...

Bertrand Russell, en su libro ’’Introduction to Mathematical Philosophy’’ [1] dijo que ’’se necesitó muchos siglos para descubrir que una pareja de faisanes y un par de días son la misma expresión del número 2. El grado de abstracción que esto contiene ciertamente no es ligero. Así, el descubrimiento del número 1 ha debido ser difícil. El cero es un descubrimiento más reciente. Los griegos y los romanos no tenían esa cifra’’. Y más aún, el filósofo inglés agrega : ’’Toda la matemática pura tradicional, incluida la geometría analítica, puede considerarse como formada por proposiciones que tratan acerca de los números enteros naturales’’. ¡Uff ! Creo que nuestra joven lectora comprenderá que puso el dedo sobre una noción muy profunda : la de número. Por lo tanto, es bueno tener necesidad de domarlos y comprender bien las operaciones que los hacen actuar. Hay una amplia literatura matemática sobre este tema y muchos grandes matemáticos (Dedekind, Frege, Peano...) han tomado los números como base para construir sobre estos cimientos el edificio matemático.

El gran filósofo B. Russell dedica las cincuenta primeras páginas del libro anteriormente citado a la noción de número y al paso de un número n al siguiente n+1.

Una vez más, la idea de contar, de pasar de un número a su sucesor, está tan anclada en nuestras costumbres, que a veces es inadvertida, como un hecho sin importancia. Russell escribe : ’’En realidad, contar -aunque es algo familiar- desde el punto de vista lógico es una operación muy compleja’’.

Para profundizar un poco más en la historia de las matemáticas, el gran matemático suizo L. Euler había recurrido -para explicar las reglas de los signos en el conjunto de los números relativos- a este razonamiento poco convincente : [2]. Para demostrar que (-1)(-1) ’’debe’’ ser igual a +1, él razona de la siguiente manera : (-1)(-1)
debe ser o +1 o -1, y no puede ser -1 ya que (-1) = (+1)(-1).

Para entregar una respuesta a la pregunta de esta joven estudiante, fui a hurgar en mi biblioteca y encontré un libro en italiano que de joven me había marcado : ’’I Numeri’’ (Los Números), de Emma Castelnuovo. [3]

Castelnuovo fue una de las grandes pedagogas de las matemáticas en Italia, y reconocida en el extranjero por sus trabajos sobre la enseñanza de las matemáticas. Nació el 12 de diciembre de 1913 en Roma, donde obtuvo su título universitario en 1936 justamente con una memoria acerca de geometría algebraica. Después de haber trabajado en la (magnífica) biblioteca del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Roma ’’La Sapienza’’ -departamento que lleva el nombre de su padre Guido Castelnuovo- ella enseñó en el Liceo ’’Torquato Tasso’’ de Roma hasta 1979. ¡Dio clases hasta la edad de 93 años !

En su libro ’’I Numeri’’, ella invita a otro punto de vista que el que está propuesto en el correo de nuestro lector. Se trata de representar geométricamente el producto de dos números enteros y tomar un rectángulo de cartón, por ejemplo de dimensiones 2 y 3 (los que nos interesan en el correo citado más arriba). Supongamos que las caras de ese cartón sean de colores diferentes, rojo y negro. Vamos a establecer la siguiente convención : el área de la superficie roja es positiva y la de la cara negra es negativa. Si las dimensiones del rectángulo son 2 y 3, su área será -en valor absoluto- igual a 6. Desde un punto de vista ’’relativo’’, diremos que el área es +6 si se presenta del lado rojo y –6 si se presenta del lado negro. Dispongamos ahora el rectángulo en el primer cuadrante (vea la figura de abajo) de manera que aparezca la cara roja, es decir la cara positiva. Su área será entonces +6. Ya que las dimensiones en este caso son +2 y +3, se podrá entonces escribir :
\[(+2) (+3) = +6.\]

Hagamos ahora una simetría axial de eje Oy . El rectángulo pasará al segundo cuadrante y veremos el lado negro (mire la figura de abajo), es decir su área será negativa e igual a –6. En este caso sus dimensiones son +2 y -3.
Ahora se tiene :
\[(+2) (-3) = -6.\]

Por una simetría en relación al eje Ox, el rectángulo va a aparecer de nuevo por el lado rojo y su área va a ser +6, mientras que sus dimensiones son, en este caso, –2 y –3.
Se tiene entonces :
\[(-2) (-3) = +6.\]

Mediante otra simetría en relación al eje Oy el rectángulo terminará en el cuarto cuadrante y vamos a ver su lado negro, es decir, la parte negativa, mientras que sus dimensiones son -2 y +3.
Se tiene por lo tanto :
\[(-2) (+3) = -6.\]

Aquí hay una pequeña animación que permite visualizar las transformaciones descritas arriba :

Espero que el punto de vista de Emma Castelnuovo pueda, por un lado, aclarar a nuestra joven matemática, y por otro, ayudarle a darse cuenta de que los objetos matemáticos pueden ser mirados de muchas maneras distintas. A veces -y yo diría incluso a menudo- hay una que es más satisfactoria que las demás. Termino insistiendo con Emma Castelnuovo que ’’la estructura del producto de dos números relativos es la misma que la de la suma de los números pares e impares. Es la misma que la composición de movimientos director e indirectos. Operaciones diferentes y por lo tanto objetos sobre los cuales ellas funcionan distinto (números relativos, números pares e impares, movimientos) ; ¡y sin embargo, la estructura de las operaciones entre estos objetos es la misma !’’

Las matemáticas son tal vez ’’el arte de las relaciones’’.

Notes

[1Bertrand Russell, « Introduction to Mathematical Philosophy », George Allen and Unwin, London, UK. Reprinted, John G. Slater (intro.), Routledge, London, UK, 1993.

[2Richard Courant - Herbert Robbins, « What’is Mathematics ? An Elementary Approach to Ideas and Methods », Oxford University Press, New York 1941, second edition revised by Ian Stewart (1996)

[3Emma Castelnuovo, ’’La via della matematica, I NUMERI’’, Ed. La Nuova Italia, 1974.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «¿Cuál es el sentido de (-3) en la multiplicación (-3)(-2) ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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