¿Cuál es su ecuación preferida ?

Le 28 novembre 2014  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu
Le 15 mars 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Quelle est votre équation préférée ? Voir les commentaires
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Presentamos el libro ’’Fous d’équations. Les 24 plus belles équations de l’univers’’, de Dana Mackenzie.

De acuerdo a una creencia generalizada en el mundo de la divulgación científica, las ecuaciones hacen escapar al público no-científico, y la persona que desee escribir un libro que atraiga a numerosos lectores debe evitarlas tanto como pueda.

Este es el desafío que se propone enfrentar Dana Mackenzie en su libro
’’Fous d’équations. Les 24 plus belles équations de l’univers’’ (el título original en inglés es The Universe in Zero Words : The Story of Mathematics as Told Through Equations), que acaba de publicar la editorial Flammarion bajo la traducción francesa de Olivier Courcelle. Cada uno de los 24 capítulos de este libro está dedicado a una ecuación, que Mackenzie trata de presentar al más amplio público posible, con su contexto de descubrimiento y un boceto de su importancia en la historia de las ciencias.

Por supuesto, su elección es personal —¿cómo podría ser de otra forma ?—. Recomiendo al lector que, antes de seguir leyendo esta nota, piense en su propia lista de ecuaciones preferidas, con el fin de no dejarse influenciar.


Pienso que este libro es agradable de leer desde el liceo para cualquier persona que no sufra repugnancia por las matemáticas. Invito al lector a decidir esto por sí mismo a la vista de los extractos siguientes, dedicados por una parte a la ecuación :
\[\pi(n) \approx \int_2^n \dfrac{dx}{ \ln x} \]
que describe la frecuencia de aparición de los números primos entre los números naturales, y por otra parte a éstas :
\[\hat{f}(n) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) e^{inx}dx, \ \ f(x) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \hat{f}(n) e^{inx} \]
que describen la transformada de Fourier de las funciones periódicas (aquí, de período $2\pi$).

’’En la escuela elemental, probablemente todos nos dimos cuenta que el desarrollo decimal de algunas funciones se caracteriza por un período más o menos largo. El de los números como $1/3 = 0, 3333 ...$ es corto. El de $1/37 = 0,027027 ...$ también. El de $1/7 = 0, 1428571428 ...$, con sus seis cifras, es más largo. El de $1/19 = 0,0526...$ cuenta con dieciocho cifras.

En realidad, el desarrollo decimal de un número de la forma $1/n$ termina siempre por encerrarse en un ciclo de $n-1$ cifras a lo más. Los números que alcanzan el límite de $n-1$ cifras siempre son primos [1], como $7$ o $19$. Pero no todos los números primos presentan una periodicidad máxima. El período de $1/37$, por ejemplo, cuenta sólo con $3$ cifras, lo que está muy lejos del límite de las $36$ cifras. No se conoce ninguna fórmula para distinguir los números primos de periodicidad máxima de los otros. El día en que la hipótesis de Riemann se vea confirmada sabremos al mismo tiempo, así como lo estableció Christopher Hooley en 1967, que ellos forman el $37,4$ por ciento del total. Este es el tipo de información increíblemente precisa que los teóricos de los números llegan a extraer de la hipótesis de Riemann.’’

’’[...] la temperatura de una barra metálica, inicialmente distribuida según una onda sinusoidal, desciende a una tasa proporcional al cuadrado de la longitud de onda de dicha sinusoidal.

¿Pero qué sucede si se parte de una distribución de temperatura no sinusoidal ? En uno de sus experimentos, Fourier exponía solo uno de los extremos de la barra a la fuente de calor, lo que da lugar a una distribución de temperatura especial : la mitad de la barra está caliente, la otra mitad fría. En su jerga, los físicos hablaban de una onda o de una señal ’’cuadrada’’. Fourier afirmaba que toda distribución de temperatura podía descomponerse en una suma, eventualmente infinita, de ondas sinusoidales. A esto se le conoce hoy como Serie de Fourier.

Actualmente, con los computadores, se visualiza sin esfuerzo la aproximación de una función arbitraria mediante una serie trigonométrica. En particular, es fácil mostrar cómo una señal cuadrada emerge de una sucesión de oscilaciones. Pero los colegas de Fourier, y en particular Joseph-Louis Lagrange, su antiguo profesor, encontraban especialmente difícil de tragar ese punto exacto. Implicaba de hecho revisar por completo la noción de función.’’

Quien se deje tentar por la lectura del libro será conducido desde ’’la ecuación más simple del mundo’’ :
\[ 1 + 1 = 2 \]
a la ecuación de Black y Scholes :
\[\frac{\partial \theta}{ \partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 s^2 \frac{\partial^2 \theta}{\partial s^2} + r s \frac{\partial \theta}{\partial s} = r \theta,\]
que ’’da a los economistas la engañosa impresión de manejar el riesgo según leyes objetivas, comparables a aquellas que gobiernan la física’’, pasando por la ley de la palanca de Arquímedes, las leyes de Kepler, la inevitable ecuación de Einstein $E = mc^2$ y la ecuación de Gauss-Bonnet-Chern, que ’’da una información acerca de la forma global del espacio a partir de su curvatura en cada punto’’.

El hecho de que el libro termine en consideraciones relativas a las crisis financieras hace pensar en la película ’’Cómo detesté las matemáticas’’. Apostemos, sin embargo, a que este libro no contribuirá a hacer odiarlas ...

Notes

[1N.d.t. : Probar esto es un ejercicio elemental.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «¿Cuál es su ecuación preferida ? » — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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Image à la une - El logo del artículo representa la portada del libro. Me fue amablemente proporcionado por Francine Brobeil, Encargada de Prensa de Éditions Flammarion.

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