Imagine un cubo, hecho por ejemplo con pasta para modelar, que usted corta con un cuchillo a lo largo de un plano. ¿A qué se parece el corte obtenido ?

Si uno elige cortar según un plano paralelo a una cara, la sección obtenida será cuadrada. Un plano de corte oblicuo podrá dar, por ejemplo, un rombo.

Pequeña adivinanza : ¿es posible obtener así un hexágono regular ? ¿y un octógono ?

Respuestas

Aquí hay una imagen que muestra cómo obtener un hexágono regular : el plano de corte pasa por los puntos medios de 6 aristas del cubo.

En cambio, no se puede obtener un octógono. En efecto, al mirar las figuras uno se da cuenta que el corte obtenido es un polígono, en el cual cada lado proviene de una de las caras del cubo. Pero como un cubo tiene sólo 6 caras, es imposible obtener un polígono con más de 6 caras.

Los matemáticos no se limitan al caso de los cubos en 3 dimensiones a los cuales uno está acostumbrado. Ellos se interesan también en el hipercubo en 4, 5 o incluso 100 dimensiones. Hay un hipercubo en cada dimensión : en dimensión 2 es el cuadrado, en dimensión 3 es el cubo usual. En dimensión superior los hipercubos no son fáciles de visualizar, ya que nuestra mente está limitada a la visión en 3 dimensiones.

Sin embargo, exactamente de la misma manera como uno podía cortar el cubo por un plano y observar un polígono (un objeto en 2 dimensiones), uno puede cortar el hipercubo por un ’’sub-espacio de dimensión 3’’ y observar un poliedro (un objeto en 3 dimensiones). [1] ¿A qué se parece el corte de un hipercubo en dimensión 4, 5 o 100000 ?

Aquí hay una película que responde a esta pregunta. Imaginemos un hipercubo en dimensión 100 que gira sobre sí mismo y observemos su corte a través de un sub-espacio de dimensión 3 que no se mueve. Aparecen algunos vértices, otros desaparecen de manera bastante compleja. No es evidente decir a qué se parece el objeto obtenido......

Es aquí donde interviene el teorema de Dvoretzky, un teorema fundamental para la geometría en grandes dimensiones. El enunciado de este teorema es el siguiente : ’’cuando se corta un hipercubo de gran dimensión haciendo un corte al azar, lo que se observa es casi una esfera’’. Además, este fenómeno será incluso más marcado a medida que la dimensión del hipercubo sea más grande.

¿Qué quiere decir eso que un objeto se acerca a una esfera ? En la película de arriba, el objeto que uno observa no tiene verdaderamente aspecto de ser esférico...
Diremos que un objeto es casi esférico si la esfera inscrita (la esfera tangente por el interior) y la esfera circunscrita (la esfera tangente por el exterior) tienen radios muy cercanos. A continuación se ilustran estos objetos : primero las esferas inscritas y luego las esferas circunscritas.

Y más abajo, una película donde se ha trazado las esferas inscrita y circunscrita. Además, se compara las secciones de tres hipercubos en diferentes dimensiones. El objeto de la izquierda es la sección de un hipercubo de dimensión 10 ; el del medio, de dimensión 100 ; y el de la derecha, de dimensión 500000. Efectivamente se observa que mientras más grande es la dimensión, el objeto obtenido está más atrapado en sándwich entre dos esferas de radios cercanos.

El teorema de Dvoretzky no se limita al caso de los hipercubos. El mismo fenómeno ocurrirá para cualquier objeto de gran dimensión mientras sea convexo (es decir, que su superficie no presente huecos [2]). Cuando se corta al azar, uno observa una cosa casi redonda.

Este teorema fue demostrado por Aryeh Dvoretzky en 1961, respondiendo a una conjetura de Alexander Grothendieck. Otra prueba fue dada luego por Vitali Milman con ayuda del concepto de ’’concentración de la medida’’, el cual ha revolucionado la manera en que los matemáticos ven los objetos de gran dimensión. La idea es la siguiente : cuando uno observa una muy pequeña parte de un objeto complejo en dimensión muy grande, se tiene la impresión de que es simple. Es el caso aquí : al observar el hipercubo (un objeto ’’complejo’’) a través solamente de 3 dimensiones, ¡da la impresión de ver una esfera (un objeto ’’simple’’) !