Curva braquistócrona

Le 28 janvier 2010  - Ecrit par  Hamza Khelif
Le 13 mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Courbe brachistochrone Voir les commentaires
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Si una partícula es invitada a deslizarse sobre una curva en un plano vertical, de un punto $A$ a un punto $B$ más bajo, sometida únicamente a su peso, el tiempo requerido para efectuar el descenso depende de la forma de la curva sobre la cual la partícula se desplaza. La recta $(AB)$ realiza la distancia mínima, pero no realiza el tiempo mínimo.

Este problema apareció en 1633 con Galileo, quien escribió : ’’Parece posible concluir que el movimiento más rápido entre dos puntos no tiene lugar a lo largo de la línea más corta, es decir a lo largo de una recta, sino a lo largo de un arco de círculo’’ [1].

Jean Bernoulli planteó claramente el problema en 1696, y las soluciones fueron enseguida aportadas por él mismo, por su hermano Jacques Bernoulli, Newton, Leibniz,…

La curva que realiza ese tiempo mínimo, llamada braquistócrona (término utilizado por Jean Bernoulli) -del griego brakhisto (el más corto) y chronos (tiempo)-, está definida por la representación paramétrica
\[ x(t) \; = \; a({t}-sin{t}), \qquad {y(t)} \; = \; {-a}(1-cos{t}) \]
(donde $2{a}$ es la pérdida de altitud en relación al punto de partida). Expuesta así se la denomina cicloide (la anterior corresponde a una cicloide invertida y tal que la vertical en $A$ es tangente a la curva). Una cicloide es la curva descrita por un punto fijado sobre un círculo (de diámetro $2{a}$) que rueda sin deslizarse sobre una recta [2].

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Para encontrar su solución, en lugar de una partícula sometida a su peso, Jean Bernoulli consideró un rayo de luz atravesando diferentes medios [3]. La velocidad de la luz depende del medio atravesado. Cuando atraviesa la frontera de un medio a otro, es refractada. El principio de Fermat establece que cuando la luz atraviesa la frontera de un punto a otro, sigue el camino más rápido.
La búsqueda de métodos para resolver el problema de la curva braquistócrona dio nacimiento a lo que se llama en Matemática El cálculo de las variaciones.
Soluciones detalladas a este problema se encuentran, por ejemplo, en [4] y [5].

La cicloide (tal que los puntos de retorno estén hacia lo alto) disfruta también de otras dos propiedades : es isócrona (la partícula lanzada sobre un arco tiene un movimiento periódico cuyo período es independiente del punto donde se lanza la partícula), y es tautócrona (el tiempo necesario para llegar a $B$ es independiente del punto de la curva desde donde se lanza la partícula con una velocidad inicial nula).


Referencias

John C. BRIXEY, Richard V.ANDREE. Fundamentals of College Mathematics. Holt, Rinehart and Winston, Inc. 1961.

Galileo. Discurso relativo a dos nuevas ciencias, (th. XXII, prop. XXXVI), (1633). Rééd. PUF, 1995.

V. GUTENMACHER, N. B. VASILYEV. Lines and Curves. Birkhäuser Boston, Inc. 2004.

Notes

[1Galileo. Discurso relativo a dos nuevas ciencias, (th. XXII, prop. XXXVI), (1633). Rééd. PUF, 1995.

[2Vea también la hermosa nota de Michèle Audin.

[3Vea la página de Paul Kunkel.

[4Página asociada en Mathcurve.

[5Página asociada en Wolfram MathWorld.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Curva braquistócrona » — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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