Si on note $\Omega$ une région du plan, $V$ son aire et $p$ son périmètre, c’est-à-dire la longueur de son contour, l’inégalité isopérimétrique s’écrit ainsi
\[4\pi V \le p^2.\]
(Plus de détails dans un billet précédent et dans une vidéo de cinq minutes)

Cette inégalité était connue des mathématiciens antiques, et on peut considérer qu’elle a été démontrée rigoureusement dès le XIXe siècle. Toutefois, il existe de nombreuses variantes sur ce thème, certaines démontrées (par exemple l’inégalité analogue dans l’espace $p^3\ge 36\pi V^2$, et même dans les dimensions supérieures), certaines conjecturales.

L’inégalité isopérimétrique classique

Avant de considérer une des variantes conjecturées les plus simples (et donc les plus frustrantes), essayons d’expliquer pourquoi une telle inégalité est intéressante ; on considèrera une région $\Omega$ de forme a priori quelconque en dimension $2$ ou $3$, et on parlera dans les deux cas de « périmètre » pour la longueur ou l’aire du contour de $\Omega$, et de « volume intérieur » pour l’aire ou le volume de $\Omega$.

Tout d’abord, l’inégalité isopérimétrique a un sens physique : si on modélise une bulle de savon de façon simple, en ignorant la pesanteur notamment, l’élasticité amène la paroi à minimiser le périmètre de la bulle ; mais l’air piégé à l’intérieur est à l’équilibre de volume constant – l’inégalité isopérimétrique dans l’espace explique la forme ronde des bulles de savon, c’est tout simplement la forme qui minimise l’énergie élastique de la bulle sous la contrainte de volume.

Ensuite, l’inégalité isopérimétrique a été un moteur historiquement crucial pour développer les méthodes du « calcul des variations », maintenant utilisées dans de nombreux problèmes de mathématiques, fondamentales ou appliquées. Une approche assez naturelle pour montrer que la forme ronde est optimale, mise en place par Steiner et Weierstrass dans le cas planaire (avec deux idées géométriques différentes), consiste à montrer qu’une forme qui n’est pas parfaitement ronde est toujours améliorable : on peut la modifier en gardant le volume intérieur constant, mais en réduisant le périmètre.

Petit souci : cette approche n’exclut pas qu’il n’existe aucune forme optimale, qu’elles puissent toutes être améliorées, même très légèrement. En effet, on montre que les formes non-rondes sont améliorables, mais pas que la forme ronde ne l’est pas ! La solution à ce problème consiste à montrer indépendamment qu’il existe au moins une forme optimale ; si cette forme optimale n’était pas ronde, elle serait améliorable, donc pas optimale, une contradiction.

Pour montrer qu’il existe une forme optimale, l’idée est la suivante. On considère une famille (rigoureusement définie) de régions, incluant toutes les régions raisonnables mais aussi des régions assez biscornues, pour lesquelles on montre que :
— les notion de volume intérieur et de périmètre ont bien un sens ;
— modifier un tout petit peu une région dans cette famille ne modifie pas trop son volume intérieur et ne peut pas baisser beaucoup son périmètre (ça
peut éventuellement l’augmenter beaucoup, ce ne serait pas gênant) ;
— une suite de régions dont le périmètre n’explose pas admet une région
limite, quitte à ignorer certains éléments de la suite.

Inclure des régions biscornues en un sens précis est la clé pour réussir à démontrer ces trois propriétés. La démonstration de l’existence d’une région optimale est alors directe : on considère une suite de régions de volume fixé, dont le périmètre approche à la limite le plus petit périmètre possible pour ce volume (on l’appellera une suite minimisante). Quitte à éliminer certains de ses éléments, cette suite admet une région limite, dont le volume intérieur est le volume fixé, et dont le périmètre est égal au plus petit périmètre possible (il ne peut pas être plus petit par définition, et s’il était plus grand il y aurait une chute de périmètre entre la région limite et une région très proche d’elle dans la suite minimisante). Ce mode de raisonnement est un modèle pour une innombrable variété de problèmes d’optimisation.

Un problème ouvert

En supposant que les lecteurs et lectrices sont maintenant convaincues de l’intérêt de l’inégalité isopérimétrique, décrivons une variante amusante, qui semble assez évidente, mais qui reste indémontrée à ce jour.

On va changer légèrement de terrain de jeu, et remplacer le plan (ou l’espace) par une forme convexe, commençons donc par expliquer cette notion. On dit qu’une partie $C$ du plan, de l’espace ou même d’un espace euclidien de dimension supérieure est convexe quand tout segment de droite dont les extrémités sont dans $C$ est lui-même entièrement contenu dans $C$. La figure ci-dessous illustre cette notion avec un exemple et un contre-exemple. Parmi les nombreux exemples dans le plan citons les triangles, les disques, les carrés.

À gauche un domaine convexe, à droite un domaine non-convexe :
dans le domaine de droite, certaines paires de point définissent un segment
contenu dans le domaine, mais pas toutes.

Fixons donc une forme convexe arbitraire $C$, disons de volume $1$ quitte à changer l’unité de longueur. Pour chaque $v\in\mathopen]0,1\mathclose[$, on peut se poser la question suivante : quelle est la (ou les) plus petite membrane qui sépare $C$ en deux parties, l’une de volume $v$ et l’autre de volume $1-v$ ? Ici petite est en terme de longueur si on est dans le plan, et de surface si on est dans l’espace ; on note $I_C(v)$ la longueur ou la surface minimale nécessaire.

Remarquons que les arguments de calcul des variations évoqués ci-dessus permettent de montrer qu’il existe bien au moins une membrane la plus petite parmi celles séparant des volumes $v$ et $1-v$.
Une différence avec la question de l’isopérimétrie est la présence du convexe $C$, dont la géométrie devrait bien sûr affecter le problème. La façon dont la fonction $I_C$ dépend de $C$ reste assez mystérieuse.

Conjecture. Soit $D$ un disque de volume $1$. Alors pour tout convexe $C$ de volume $1$ dans le plan, et pour tout $v$ tel que $0 \lt v \lt 1$, on a $I_C(v) \le I_D(v)$.

Autrement dit, de tous les convexes de volume fixé, le disque est celui pour lequel enclore un volume fixé serait le plus difficile. L’idée sous-jacente est que
dans un domaine qui n’est pas rond, la courbure du bord n’est pas constante et il y a une zone où la courbure doit se concentrer ; entourer cette zone devrait permettre des économies.

À ma connaissance le seul cas connu est $v = 1/2$ (« The longest shortest fence and sharp Poincaré-Sobolev inequalities », L. Esposito, V. Ferone, B. Kawohl, C. Nitsch and C. Trombetti, Archive for Rational Mechanics and Analysis 206(3), p. 821-851, 2012) ; la même question peut être posée dans un espace euclidien de n’importe quelle dimension, où elle est alors totalement ouverte — c’est dire que notre compréhension géométrique de l’effet de la courbure sur les questions d’optimisation, même dans le plan ou l’espace usuel, est encore bien limitée !

Parmi les lectures intéressantes et relativement abordables sur les inégalités isopérimétriques, mentionnons « The Isoperimetric Problem on Surfaces » de Hugh Howards, Michael Hutchings & Frank Morgan (American Mathematical Monthly, vol 106(5), 1999)