De l’ambiguïté des puzzles aux idées de Galois

Piste rouge Le 16 décembre 2011  - Ecrit par  Xavier Caruso, Bruno Teheux Voir les commentaires (3)

Cet article a été écrit en partenariat avec Bicentenaire de la naissance d’Évariste Galois

Une première version de cet article a été publiée sur le site Galois
de l’IHP-SMF à l’occasion du bicentenaire de la naissance de Galois.

Le but de cet article — accessible, nous l’espérons, au plus grand nombre, contrairement à ce que pourrait laisser penser la fin de cette phrase — est de présenter les idées générales de la théorie que Galois a développée pour déterminer si une équation algébrique était, oui ou non, résoluble par radicaux.

Sur l’ambiguïté des puzzles

Pour l’instant, revenons à un vocabulaire plus courtois et introduisons le sujet de façon ludique par l’intermédiaire de deux petites énigmes logiques, qui prennent la forme de puzzles.

La solution des deux énigmes sera donnée par la suite ; vous pourrez donc aller la consulter si vous restez bloqués. Néanmoins, nous vous conseillons grandement de tenter pour commencer de résoudre les énigmes par vous-mêmes, vous tirerez ainsi largement plus de profit de cet article.

Deux puzzles pour commencer

Le degré 1

Voici le premier puzzle, dit de degré 1 (pour ceux qui ont déjà un peu fait des équations, l’analogie apparaîtra clairement plus tard) :

Pour ce jeu, vous disposez de 9 dominos « plein » et de 6 dominos « demi » (qui apparaissent sur le côté droit) que vous devez disposer sur la grille — en les déplaçant à l’aide de la souris — en respectant les contraintes (les flèches obliques indiquent des contraintes à respecter sur des diagonales). De plus, le nombre de dominos « plein » placés sur la zone rouge doit être égal à celui des dominos « plein » placés sur la zone bleue et il est en de même pour les dominos « demi ».
Pour vous aider, les indications apparaissent en rouge lorsquêelles ne sont pas respectées et en vert lorsqu’elles le sont. De plus, un décompte des dominos « plein » et « demi » apparaît en bas à gauche.

Le degré 2

Voici maintenant la grille de degré 2 :

Les règles du jeux sont identiques, mais vous disposez cette fois de 11 dominos « plein » et de 4 dominos « demi » (et les contraintes sont évidement différentes).

La solution

Le degré 1

Commençons par indiquer un raisonnement — il n’est pas unique — qui permet de résoudre l’énigme de la grille de degré 1. Tout d’abord, notons qu’étant donné que les nombres de dominos « plein » sur les surfaces rouge et bleue doivent être identiques et vu qu’il y a un nombre impair de dominos « plein » en tout, la zone jaune est occupée par un domino « plein ». Nous pouvons ensuite exploiter les contraintes « 0 plein » en diagonale pour placer les deux dominos « plein » sur la deuxième ligne et symétriquement, sur l’avant dernière ligne. Nous obtenons l’étape intermédiaire suivante.

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En utilisant à nouveau la contrainte « 0 plein », nous pouvons satisfaire les contraintes « 2 plein » en les diagonales de manière univoque. Ensuite, les contraintes « 0 demi » nous permettent de remplir la première et la dernière colonne avec les dominos « demi ». Cela nous permet de placer le domino « plein » sur la première et sur le dernière ligne. Nous avons donc une seule configuration possible comme solution, qui est représentée ci-dessous (et nous vérifions facilement qu’il s’agit bien d’une configuration qui satisfait l’ensemble des contraintes).

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Ce puzzle est assez simple. Nous venons en effet d’expliciter un raisonnement qui mène à l’unique solution sans que le joueur se retrouve dans la situation de devoir faire un choix face à des alternatives qui respectent les contraintes (encore fallait-il trouver ce raisonnement). En effet, dans notre analyse du problème, en supposant que la solution existe, nous pouvons déterminer à chaque étape la position d’une des pièces de manière univoque.

Le degré 2

Pour débuter le deuxième puzzle, nous commençons par satisfaire la contrainte « 3 plein » sur la diagonale. Ensuite, en combinant la contrainte « 1 plein » sur la diagonale dans la zone bleue et la contrainte de la deuxième ligne, on peut remplir cette dernière. En procédant de manière symétrique pour l’avant dernière ligne, on obtient :

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À ce stade, malheureusement, l’analyse de la situation ne nous permet plus de combiner les contraintes pour déterminer de manière univoque la position d’une pièce supplémentaire. Nous devons faire un choix pour placer la pièce suivante, ce qui correspond à faire une hypothèse sur la configuration de la solution que nous cherchons. Considérons par exemple le placement du deuxième domino « plein » sur la ligne du milieu. Nous avons deux possibilités et aucune des contraintes ne nous amène a priori à privilégier un de ces choix (sauf à envisager individuellement, comme nous allons le faire, les conséquences de ce choix sur le placement des pièces restantes).

Choisissons de placer ce domino sur la zone rouge, tout en ne sachant pas, pour l’instant, si ce choix mène ou ne mène pas à une impasse. Une fois ce choix effectué, nous pouvons placer de manière univoque le domino « demi » sur la ligne du milieu ainsi que les deux dominos « demi » sur la dernière colonne. Nous obtenons :

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Ensuite, nous pouvons compléter la colonne du milieu en tenant compte des contraintes de la première et de la dernière ligne. Enfin, en tenant compte du fait que les zones bleue et rouge doivent comporter le même nombre de dominos « plein », nous pouvons satisfaire la condition « 2 plein » sur la diagonale. Voici la configuration que nous obtenons, qui est effectivement une solution (toutes les contraintes sont satisfaites) :

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L’hypothèse que nous avons posée à propos de la place du deuxième domino « plein » sur la ligne de milieu nous a donc mené à une solution. Que se serait-il passé si on avait fait l’autre choix ? Pour le savoir, remontons de quelques étapes et, au lieu de placer le domino « plein » sur la ligne du milieu dans la zone rouge, mettons-le dans la zone bleue. En poursuivant à partir de cette étape, par un raisonnement similaire au précédent, nous obtenons une deuxième solution :

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Hormis le choix de la position du deuxième domino « plein » sur la ligne du milieu, les contraintes nous ont toujours dicté la position des dominos de manière univoque. Nous sommes donc certains qu’il n’y a que deux solutions (d’où le nom de degré 2).

Quelles leçons faut-il retenir de cela ?

Pour répondre à la question posée dans le titre, revenons un instant sur notre raisonnement en essayant de l’analyser.

Moins il y a de solutions, plus c’est facile

Pour la grille de degré 1 (qui admettait une seule solution), nous avons, à chaque étape, réussi à déduire des contraintes la position d’un nouveau domino, ce qui rendait le raisonnement plus simple.

Pour la grille de degré 2, au contraire, il n’en a pas été ainsi : rappelez-vous, à un moment, il a fallu choisir où placer le deuxième domino « plein » sur la ligne du milieu. Nous avons eu de la chance car, finalement, n’importe quel choix conduisait à une solution. Mais cela n’était pas garanti a priori et les lecteurs qui ont tenté de résoudre ce puzzle par eux-mêmes ont peut-être fait d’autres choix qui les ont conduits dans des impasses... comme, par exemple, celui de placer en première position le domino « plein » de la première ligne. En d’autres termes, l’apparente simplicité du raisonnement que nous avons présentée et qui mène aux deux solutions est une conséquence des choix judicieux que nous avons faits.

Était-il possible de résoudre la grille de degré 2 de façon systématique (c’est-à-dire de façon à ne jamais avoir à faire un choix) ? Non, évidemment : puisqu’il y a deux solutions, il faudra quoi qu’il arrive à un moment choisir entre l’une des deux ! Et faire ce choix sera toujours prendre le risque de se tromper et de s’engager dans une impasse !

Ainsi, la première leçon à retenir est que, plus le jeu a de solutions, plus il a des chances d’être difficile. Cela n’est pas entièrement intuitif car on pourrait imaginer à l’inverse que plus il y a de solutions, plus on va avoir de chance d’en trouver une. En réalité, ce n’est pas si simple : l’existence de plusieurs solution offre beaucoup de liberté et, en particulier, celle de s’engager dans des voies sans issue. Lorsque, à l’inverse, le chemin nous est dicté (c’est-à-dire lorsque la solution est unique), certes, on est nettement moins libre (c’est-à-dire qu’il n’y aura jamais aucun choix à faire) mais, au moins, on est certain d’arriver à bon port (c’est-à-dire de trouver la solution).

Comme autre illustration, prenez une grille de Sudoku (qui admet une unique solution) et imaginez maintenant que l’on efface un des numéros. La grille que l’on obtient admettra alors sans doute plus de solutions mais sera aussi certainement nettement plus compliquée, justement car l’on va devoir à un moment choisir quel numéro écrire dans la case effacée et il est peu probable que tous permettent d’aboutir.

Plus il y a de contraintes, plus c’est facile

C’est la deuxième leçon à retenir : plus il y a de contraintes, plus c’est facile. L’idée sous-jacente à cela est que lorsqu’il y a plus de contraintes, nous avons plus d’informations à notre disposition pour travailler, et le raisonnement sera par là-même simplifié.

Pour illustrer cette idée de la façon la plus parlante possible, imaginons la variante du puzzle de degré 1 suivante : la grille reste la même, les règles également sauf que l’on n’impose plus qu’il doit y avoir autant de dominos « plein » et « demi » dans les zones bleue et rouge. En d’autres mots, on supprime les couleurs sur la grille (et donc la contrainte liée aux couleurs)

Étant donné qu’il y a seulement une contrainte en moins, il est clair que la solution à laquelle nous sommes arrivés lorsque nous avons résolu la grille de degré 1 convient encore pour la variante que l’on vient de proposer (rien n’indique cependant qu’elle est unique). Autrement dit, il n’y a, semble-t-il, rien de plus à faire pour la résolution. Il semblerait donc que la seconde variante soit plus simple.

Mais, cette manière de comparer la complexité des énigmes ne tient pas ! En effet, elle est basée sur l’hypothèse qu’avant de s’arracher les cheveux sur la version « décolorée », on a déjà résolu la version « colorée ». Or, si l’on veut réellement comparer la difficulté des deux énigmes, il faut les attaquer à armes égales, c’est-à-dire en supposant ne rien savoir a priori sur la première version lorsque l’on commence la seconde. Et, dans ces conditions, tout est fort différent !

Pour nous en convaincre, rappelons simplement que, pour résoudre la première variante, nous avons commencé à raisonner ainsi : étant donné que le nombre de dominos « plein » sur les surfaces rouge et bleue doivent être identiques et vu qu’il y a un nombre impair de dominos « plein » en tout, la zone jaune est occupée par un domino « plein ». Ce raisonnement, clairement, ne peut plus être tenu pour la seconde variante puisque l’on n’a plus l’information concernant la répartition des dominos par couleur. Il semble donc que l’on soit bloqué dès le départ !

En fait, on peut s’en sortir et remplacer le raisonnement précédent par un autre — plus subtil, selon nous — qui permet d’arriver à la même conclusion. Le voici. Imaginons un instant qu’il n’y ait pas de dominos « plein » sur la case jaune. (Nous allons par la suite arriver à une impossibilité, ce qui montrera qu’il y a effectivement un domino « plein » sur cette case, c’est-à-dire ce que l’on voulait.) Avec cette supposition supplémentaire, il ne reste plus de choix pour la position de deux dominos « plein » dans chacune des deux diagonales centrales :

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Mais alors, il nous reste 5 dominos « plein » à placer et il faudrait encore en mettre un sur la première ligne, deux sur la seconde, un sur l’avant-dernière et deux sur la dernière, c’est-à-dire 6 en tout. Manifestement, cela n’est pas possible, et on en conclut bien qu’il y a nécessairement un domino « plein » sur la case jaune.
Le raisonnement, ensuite, est identique à celui qui a été présenté pour la première variante. En effet, on pourra vérifier qu’il n’utilise plus jamais l’hypothèse d’« équirépartition selon les couleurs ».

Il est clair maintenant, nous l’espérons, qu’enlever une contrainte est de nature à compliquer l’énigme plutôt que la simplifier. À celles et ceux pour qui le deuxième raisonnement que l’on vient de donner (celui avec le décompte des dominos « plein ») semble plus simple que le premier (celui avec l’argument de parité), disons simplement que, dans la première variante de l’énigme (c’est-à-dire celle possédant la contrainte supplémentaire), on pouvait au choix mener l’un ou l’autre des raisonnements. Dans la seconde variante, au contraire, le premier n’est plus possible.

Utilisation des symétries

Imaginons une grille bien plus complexe qui rendrait un raisonnement analytique (comme celui qui nous a mené aux solutions des énigmes précédentes) difficile, voir impraticable. Quels autres outils avons-nous à disposition pour tenter de résoudre les énigmes ? Montrons que la notion de symétrie peut nous aider.

Le degré 1 « décoloré »

Nous constatons que la grille de l’énigme de degré 1, dans sa version « décolorée » (c’est-à-dire où l’on a supprimé la contrainte sur les couleurs), possède une symétrie « miroir haut-bas » : si nous considérons l’image miroir de la grille et de ses contraintes par rapport à la ligne du milieu, nous obtenons exactement la même grille et les mêmes contraintes. (Notez bien que la version initiale ne possède pas cette propriété car les couleurs sont modifiées — et pas uniquement échangées — par la symétrie.)

Nous en concluons que si nous obtenons une solution, nous pouvons en obtenir une autre en appliquant à notre configuration solution la transformation « miroir haut-bas ». Les solutions apparaissent donc par paires, sauf si elles sont invariantes pour cette transformation, ce qui est le cas de la solution que nous avons trouvée.

Si l’auteur de l’énigme nous donne un indice sur le problème et nous indique qu’il n’existe qu’une seule solution, cela nous permet donc de déduire que cette unique solution est nécessairement symétrique (puisque les solutions qui ne le sont pas vont par deux). Or, savoir à l’avance que la solution est symétrique est un indice de taille ! Par exemple, dans notre recherche de solution, chaque fois que nous plaçons un domino dans une des demi-grilles « haut » ou « bas », nous pouvons en placer un second symétriquement au premier dans l’autre demi-grille, ce qui nous permet d’avancer deux fois plus vite...

Le degré 2

Bien qu’elle ne saute pas aux yeux, la grille de l’énigme de degré 2 ne change pas lorsque l’on tourne la feuille d’un demi-tour (on parle de symétrie centrale). Comme tout à l’heure, les solutions vont donc par paires, sauf si elles sont invariantes par demi-tour. Les deux solutions que nous avons trouvées forment une de ces paires : à partir d’une des deux solutions, on peut obtenir l’autre en la faisant tourner un demi-tour. En particulier, après avoir trouvé la première solution, nous aurions pu obtenir directement la seconde et également conclure, dès ce moment, qu’il ne pouvait y en avoir d’autres. En effet, puisque le choix de placer le domino dans la zone rouge nous a conduit à une solution et une seule, il est clair que l’on aurait également obtenu une solution en une seule en le plaçant dans la zone bleue puisque cela revient in fine à tourner la feuille et donc à résoudre la même énigme.

Mieux encore : en supposant que l’énigme possède au moins une solution, nous pouvions utiliser la symétrie pour nous alléger l’esprit face au dilemme « Vais-je placer le deuxième domino »plein« sur la ligne du milieu dans la zone rouge ou dans la zone bleue ? » En effet comme, par symétrie, les deux choix se correspondent, aucun ne peut mener à une impasse car, sinon, les deux y mèneraient et il n’y aurait au final aucune solution.

Le jeu des équations algébriques

Dans cette deuxième partie, nous étudions un nouveau jeu, un peu moins visuel certes, mais qui nous conduira directement aux travaux de Galois.

Sauras-tu retrouver notre âge ?

Il était une fois, deux brillants mathématiciens — appelons-les Xavier et Bruno — qui, après une longue discussion en étaient venus à se demander lequel des deux était le plus jeune. Au même moment, un collègue à eux, Martin, passe non loin de là et entend « Ah, ah, donc c’est moi le plus jeune ! ». Intrigué, il s’approche, découvre Bruno et Xavier en train de discuter et, se souvenant de ce qu’il a entendu il y a une minute, leur demande leur âge respectif.

Mais les deux mathématiciens sont joueurs, et ils ne dévoilent à Martin que la somme et le produit de leurs âges : la somme fait 61 et le produit 930. Martin peut-il alors retrouver l’âge de ses deux amis ?
La réponse est que cela dépend... Plus précisément, comme Martin est lui aussi mathématicien, ce qu’il sait faire (et qui est expliqué ci-après, en petit, pour nos lecteurs), c’est retrouver les deux âges en résolvant une équation : ici, il trouve 30 et 31 ans. Par contre, ce qu’il ne peut pas faire, c’est savoir à qui il doit attribuer ces âges (car si on intervertit les deux âges, évidemment, la somme et le produit restent inchangés)... à moins, bien entendu, qu’il ait reconnu la voix de celui qui s’est exclamé être le plus jeune !

Nous sommes donc en présence d’une énigme ayant deux solutions : soit Bruno a 30 ans et Xavier 31, soit c’est le contraire. Et, sans information supplémentaire, on ne peut rien dire de plus. D’après les idées générales qui ont été présentées dans la première partie de cet article, cette ambiguïté est de nature à accentuer la difficulté de résolution de l’énigme.

Un jeu qui se joue aussi en famille

Ce petit jeu des âges peut se rejouer avec plus de monde, par exemple en famille. Imaginons que trois sœurs cherchent à faire redécouvrir leur âge (ou, plus généralement, n’importe quel nombre de leur choix) à leur grand-mère qui est absolument incapable de se souvenir de ce genre de choses tandis qu’au contraire, elle manipule encore avec une aisance inouïe les notions de mathématiques qu’elle a apprises dans sa jeunesse.

Lorsqu’il y a trois protagonistes, il ne suffit plus d’annoncer la somme et le produit des âges, mais il faut également une information supplémentaire qui peut être, par exemple, la somme des produits des âges deux à deux. Cela signifie que chaque fille multiplie entre eux les âges de ses deux sœurs et qu’elles communiquent à la grand-mère la somme des trois résultats obtenus — ainsi que, comme précédemment, la somme et le produit des trois âges.

Avec toutes ces informations en main, la grand-mère qui n’a pas oublié ses cours avancés de mathématiques, arrive à retrouver les trois âges mais, encore une fois, elle ne sait pas a priori quel âge correspond à quelle fille. S’il n’est pas si facile d’expliquer comment retrouver les âges (il s’agit en fait de résoudre une équation de degré 3), il est nettement plus aisé de comprendre que, sans information supplémentaire, on ne va pouvoir attribuer à coup sûr correctement chaque âge à chaque fille. En effet, si l’on permute les âges entre les filles, la somme et le produit demeurent inchangés, de même en fait que la somme des produits des âges deux à deux.

Ainsi, si la grand-mère ne se souvient plus qui, parmi ses petites-filles, est l’aînée, la cadette et la benjamine — et, comme on l’a dit, qu’elle ne fie qu’à ses raisonnements, sans chercher à voir laquelle paraît la plus jeune — il lui restera six possibilités : si les filles s’appellent Émilie, Sofia et Emmy [1], ces six possibilités correspondent aux six façons que l’on a de les ordonner par âge décroissant (de l’aînée à la plus jeune) :

  1. Emmy, Sofia, Émilie
  2. Emmy, Émilie, Sofia
  3. Sofia, Émilie, Emmy
  4. Sofia, Emmy, Émilie
  5. Émilie, Emmy, Sofia
  6. Émilie, Sofia, Emmy

Comment peut-on calculer qu’il y a bien $6$ possibilités ? C’est assez simple : il suffit de se dire que l’on a $3$ possibilités pour l’aînée, mais une fois que ce choix est fait, on a plus que $2$ possibilités pour la deuxième et, finalement, plus qu’une seule pour la petite dernière. L’opération à faire est donc $3 \times 2 \times 1$, ce qui fait bien $6$.

Le même jeu peut encore se jouer à quatre, cinq et même autant qu’on veut. Si l’on joue à $n$, les informations à donner sont la somme des nombres choisis (les âges si l’on veut), la somme de leurs produits deux à deux, la somme de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite jusqu’à la somme de leurs produits $n$ à $n$ (ce qui est LE produit étant donné qu’il y a un unique produit $n$ à $n$). Retrouver les nombres à partir de ces informations revient alors à résoudre une équation de degré $n$ [2] et il y a, à la fin, $1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n$ façons de redistribuer les nombres parmi les joueurs. Pour quatre nombres, cela fait $24$ possibilités ; pour cinq, cela en fait $120$ ; pour six, $720$, etc. On voit donc que cela grandit très vite.

Imposer des contraintes supplémentaires

Comme on vient de le dire, lorsque le nombre de joueurs augmente, le nombre de possibilités augmente très rapidement et, selon la philosophie générale de la première partie, avec lui, la difficulté à résoudre l’énigme.

L’idée principale sur laquelle reposent les travaux de Galois peut se résumer comme suit : pour simplifier le problème, on va imposer des contraintes supplémentaires qui vont faire diminuer le nombre de solutions. Bien sûr, ces contraintes ne peuvent pas être n’importe lesquelles car l’on souhaite, au minimum, qu’il reste des solutions. Mais dès qu’il en reste une, on est sauvé car on pourra retrouver les autres simplement en redistribuant les nombres.

Un exemple sera certainement plus parlant qu’un long discours. Imaginons donc que quatre personnes — que l’on prénommera Sandrine, Sébastien, Natacha et David [3] — choisissent chacune un nombre et nous dévoilent la somme de ces quatre nombres, la somme des produits deux à deux, etc.

Plaçons-nous dans le cas où aussi bien pour la somme des nombres que pour la somme des produits trois à trois, la valeur dévoilée soit 0. Certainement, il y a alors parmi les nombres choisis des nombres négatifs et, en fait, en revenant aux équations algébriques, on peut démontrer que si un nombre a été choisi, alors son opposé (c’est-à-dire le même nombre où le signe a été modifié) a lui aussi été choisi [4]. En particulier, quelqu’un a choisi un nombre qui est l’opposé de celui de Sandrine. Certes, on ne sait pas a priori de qui il s’agit, mais cela permet malgré tout de couper le problème en trois :

1er cas : Sandrine et Natacha ont choisi des nombres opposés

2ème cas : Sandrine et Sébastien ont choisi des nombres opposés

3ème cas : Sandrine et David ont choisi des nombres opposés

Il y avait initialement 24 possibilités en tout, mais maintenant, si l’on résout l’équation cas par cas, il n’y a plus que 8 possibilités à chaque fois. On a donc, comme cela, simplifié le problème.

Par ailleurs, on se doute déjà que si l’on arrive à résoudre le premier cas, on saura également résoudre les deux autres : pour le deuxième, par exemple, il suffira d’échanger les rôles de Sébastien et Natacha partout dans la solution. Ainsi, il suffit de résoudre le problème dans le premier cas, c’est-à-dire en s’imposant la contrainte supplémentaire suivante :

Sandrine et Natacha ont choisi des nombres opposés.

De ce fait, comme on l’a déjà dit, on réduit de 24 à 8 le nombre de solutions, et on simplifie d’autant la résolution du problème. Ces 8 solutions se décrivent comme suit : on peut échanger les nombres de Sandrine et de Natacha, on peut échanger les nombres de Sébastien et de David, et on peut aussi finalement échanger globalement les nombres des garçons avec ceux des filles. Par exemple, si les nombres choisis sont $1$, $-1$, $2$ et $-2$, les huit possibilités sont :

\[\begin{array}{c|c|c|c} \text{Sandrine} & \text{Natacha} & \text{Sébastien} & \text{David} \\ \hline 1 & -1 & 2 & -2 \\ -* 1 & 1 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & -2 & 2 \\ -* 1 & 1 & -2 & 2 \\ 2 & -2 & 1 & -1 \\ -* 2 & 2 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & -1 & 1 \\ -* 2 & 2 & -1 & 1 \end{array}\]

les autres permutations étant exclues car elles ne respectent pas la contrainte supplémentaire.

De façon générale, Galois s’intéresse de façon systématique à ces contraintes supplémentaires que l’on est en mesure d’imposer a priori pour le jeu précédent — qui est, soulignons-le bien, celui de la résolution des équations algébriques et donc pas aussi anodin que la présentation qu’on en a faite pourrait le laisser croire. Il s’intéresse encore plus particulièrement aux solutions qu’il reste après avoir imposé toutes ces contraintes (il peut, dans certains cas, y avoir plusieurs contraintes... et, dans d’autres cas, aucune). Cet ensemble de solutions est ce que Galois appelle le groupe de l’équation [5], et ce que l’on appelle aujourd’hui le groupe de Galois de l’équation.

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    Par comparicté la pospotion de tainuns82lui vonp sûr corontraintls proila yotbou&#eux autreidérons parcomparicr cettnt glels proiésentnteont :

    \[\begi} \curve>\[owleft &s 3 \t &s 3 \t &s 3 \t &s 3 \t &s 3 \t &s 3urve>\[owleft &s 3 \t &s 3 \t &s 3 \text{D3urve>\[owleft &s 3urve>\[owleft &s 3 \t &s 3urve>\[owleft &s 3 \t &s 3 \t &s 3 \t &s 3 \t &s 3 \t &s 3 \text{D& -1 & 1 \end{array}fetont :

    \[\begi} \c \t &s 3urve>\[owleft &s 3 \t &s 3urve>\[owleft &s 3 \t &s 3 \t &s 3urve>\[owleft &s 3 \t &s 3 \t &s 3 \t2 & -1 & 1 \end{array} varian. à moons. Bacune #8217;uncontcil yres eoire. Ilnnuous s possib5>Judre lxouvupplée f217;ihui le nnéenuo;. symegré Cral fales es&tion pour ner (celungés, nde, par égale p>Plaurevenons un insatisfait l’ensnotion de nsolutioe a éne respecme dans l217;ideueux autrcs qui nux âges, évvaria pfauiseule solp>erl donme dans l2otbou& dqu&#dagtemétriq$ 3 \t$sans issuon lorsque lpenro sectenl17;heotion de de utiliser la ssuon lorsque l’o’éresds jeune.14.7.és ? C&ux âg en r (ceeaprans infotbouiian. es âças alléger ais il faut nnemeelassez simpil passautre ecupetrouvé la pliser la sslutio7;utre 2 et dme dans l217;ideu En e, qument lsslutio7;utre 2 etin, , rien dcme dans l217;ideu une seule, il es tandis quauraitcme dans l217;ideument, celn#8217;en a 7;utre simplifiCède pas cette prsonnement que l’onencore en trois, à fairevux yintéresse ne grille De façon sez simpil u

    Le jeu des équations al)tainuns82quo;& s&#e Or, savoir àadba feuille dp> notion de no2$, lespages en p17;it l’stment s 31 aaricté lafaire (et btenons exatisfait l’ensnotion de ntio7;utrae respeaudp> groupe. Atous eule solutncore c iscussudiacessalle ymétls=hui le groupes nre s 7;ihui le nnéenuo;. sait ux ure lnger globals 7;ihui le nnéenuo;. sde nre s 7;ihui le nnéenuo;. ux à deux, <)gébriques, oEnaqrraits&nons que l’l n&r pour ent (t-à-dire ebr cre en le mo, on esminuer lt ce ques autrfix sOr, savoir à l et i#8217;e7;on L’e, sufier. À mier dan/ptiocé la posiocrras;équation [8id='nh4'>4]nt, cela n’e,croire. Ilinementu’y de cnombre dnérale8217;un a choisi >]notion de et i#8217;e24) deux<é d vec le due même enr imposé ta jeu des qui nr pour ent0 et 31 ans. Paes : u grille 5 >]nt, cela n’e,cs nombres à p quae, si les nombre>]De façones nomui le nni l̵r ent0gébriquesolution des zs il faut ni l̵r ent0simpl

3ème ca igmeire pdocé la nt, celdisceles norille s —

Si l. remercne reiori Ae de czs dte sis 31ter'> Aesélne Alvarezid='

rain sym2>  [4 maid='rp;&raqmysete ser'> ÉmilKotroivskayaid='rl doo&raq on saura s p, onment siser'> maid='rp;&raqmysetèneser'> e, S Noetherid='simplif/div> [4 [4 de qui il ss’agit, cette fois-ci, simplement de certains membres de la bele feuille d#

mi led{arra/div> [4 [4 [4
ntendu is l’hpparentems à fns casioire. Ilite, entau une sl̵l’e reste des ucune). Cet ensotion de eux encoges, mainbsp;:el es tandis qc a choisi mère qui lui aussi é envque cea/ol>  : Sandrine et Sébastien ot-à-dire le mde utiliser la ssisinalemens âges deue quatsceletioe a én̵ soment en la rr la ibuer ldeD prece;équatin>. En p personnes &m>Planbsp;:eldes nn̵sechomme er l partoutainsila somenlongue dlus jeune &ye fois.eu, un ;e reste des soet enstion des a se jaune.

Siiolos unu«ion &lachoisi un nsolutiuell7;avancereux au» (l partoullano la dsolution des zquations al probl n̵le Enaqut en àrocrraurs,entx, <)ier (celui ave/p>

Us rs300xH&la grille 1«ion « décolo#187; que fille. doui-cilldenco, ce qui uer pliser lat217;agit--ciltioe a és, on netout dans la.. un nois. O a e plne,en a faiterait pioncela, ut en àour la rr s,entx,  [4]groupeGe n&rest>]< qui xatisfait l’ensnotion de dernièret l’ensnemble de solutions eet ce que l’,Ge. Enaquere aatie ,, pn àtangr l;de Gsableerhui le groupe. D premeâtixproila groupes >

Danéencé lasolutiuell donceurs âgeioe c& àes autres p;de G̵ mi lre partie de cas par cas, i &md8217e lehoix sera et même autantiri diation, il( possèdeer (celureeutà nte puisque l f&ce lnger g)un insatisfai qui srail󊌹il yia diffition pour ner (ce feuille sa;énigme avoir à (celui avecutiolus vit/div> [4. En ps'Pour ceuxcelles et 7;imporsesolution (te en e possi d pr ceux0 horm âx ure lnger glob somme dlus vit/div>

ser'> Ptinscer partie de cid='sym2>
  • x, a>
  • x, a>
  • r. ai/ohare?url=http%3A%2F%2Fs l&#s.rill.cnrs.fr%2FDe-l-le, ce7;osent-s300xHn-aec-adbes- s-groupe.html&tixp=Dn+l%E2%80%99le, ce%C3%AFt%C3%A9+ent+s300xHn+aec+id%C3%A9Hn+de+groupe+-+%40discelDesMille+-"ref='#n"link-twi

    r"sfootno"Ptinscer partie de cun inTweep>r"sfargetsps&pup">r">x, a>

  • x, a>
  • Eumy

    30 ans Caruso, sp;: s Tehell — «Dnne’le, cette am la s300xHn sautprès lla groupe» — disceles noMncés de mathéCNRS, 2011

    t/div> tdivaef='#n"clemets"> tdivaef='#n"cs_blocp">xh4ationser'>

    Cxpliquupplun ins'ie de cuser'> x, a>sym2> tdivaef='#n"cons, t"> tdivaef='#n"head">

    Dnne’le, cette am la s300xHn sautprès lla groupegébr vite cu162quo;certa 2011l21715:43vvariCidrolinsym4>

    tdivaef='#n"ml y gb"> bspUns augmebgme nvulgare es une u plnenla Boll, IfardlLe Lue aipe. Lla s300xHncar, sieuxisme grilisis ( mais qui nsi, simpresse é est17;on utprès lla groupees nombres.<2otbou& c c&#e farielles et sscomme sose jaune."br cla"s='a le mêm˘nombre où le signe a ét

    ber'> r">Rr' />drstémat ml y gbi>a> bliasp;"forum4978";:

    tdivaef='#n"cons, t"> tdivaef='#n"head">

    Dnne’le, cette am la s300xHn sautprès lla groupegébr vite cu172quo;certa 2011l21707:59vvari30 ans Carusosym4> tdivaef='#n"ml y gb"> bspMercne impasse Piori de qui il s&e fois-ci, si feuille s, mayintérReux encoges, ll, ce qui r à lui v fois-ci, sa version &la le même nombre où le signe a éteue ?&nb

    ber'> r">Rr' />drstémat ml y gbi>a> bliasp;"forum5013";:

    tdivaef='#n"cons, t"> tdivaef='#n"head">

    Dnne’le, cette am la s300xHn sautprès lla groupegébr vite cu222quo;certa 2011l21715:51vvariCarou& Gt driausym4> tdivaef='#n"ml y gb"> bsps ? C&ibiligteue&nb! MercsimplifiCarou& Gt driausse jaune."br cla"s='aSecre taier le e pdocé l

    ber'> r">Rr' />drstémat ml y gbi>a> tdivaef='#n"block-expliqu"asp;"expliquer">

    Lrrait lun expliquupplsym2> Forum n inab ses ra .iples a p> ser'> | ser'> sn eenscriio | ser'> mot de deson 217;a p ? us vit/fieldset> tdivaef='#n"block-st1ated"asp;"sugg neon">

    ser'> Ae de cimsugg&eaain ;r&eaain ;si>a>sym2>

    ;onaitesavez ai 821partie de casvagonaontons desugg neona eto de mathémien a faii, svPlains’r :

    tumy
  • tdivaef='#n"possc"> ter'> tdivaef='#n"plume"> tdivaef='#n"footn">ser'> Lla possibuppl so&nons qulrithme s mati>a>sydiv> ti> cuser'> 20( mvcerta 2011i>a>syiy tdivaef='#n" ethor"> 30 ans Carusosya> tdivaef='#n"dees le"pUnspodans la pe qque la partie de cu le signp17;a pe-iori ter'> x, 33
  • tdivaef='#n"possc"> ter'> tdivaef='#n"plume"> tdivaef='#n"footn">ser'> Dnolution des zgtoiser ls ali>a>sydiv> ti> cuser'> 18 févrans 2013i>a>syiy tdivaef='#n" ethor"> Étathé Ghysi>a>, Caeonona Mae caesya> tdivaef='#n"dees le"pOe nrobloêmexpliques norillns de mathémentaiu, ise décptn va imperc7;on res auiavari7;onmu,tiiller.it/div> x, 33
  • tdivaef='#n"possc"> ter'> tdivaef='#n"plume"> tdivaef='#n"footn">ser'> a>sydiv> ti> cuser'> a>syiy tdivaef='#n" ethor"> 30 ans Carusosya> tdivaef='#n"dees le"pD precertie de cas maisans notrdes uc̵r, noue d’unlogimat.que

    De it--cil7;rt8217;idée ci, simp;eétixteet il ymi7;intsp;Vaba feuille sa on pnt #8217lrillns de mat.it/div> x, 33

  • tdivaef='#n"block-sight block- ethor">

    L#

    mi lsym2> tdiv> tdivaef='#n"possc"> timg ef='#nb5' cllogo 5' cllogos' alt="" src="local/ujeu -ve ottes/L90xH120/ eton110-cfd59.jpg?1508232528" width='90' height='120ss='i>a>sydiv> ter'> 30 ans Carusosydiv> tdivaef='#n"bio">tp>Charg diffiReeu qtre CNRS, Unipe qqt diffiRehémaIimpl tdiv> ter'> sp;: s Tehellsydiv> ser'> V17;e7;onexpliquuppl (3)<>a>sym3> ser'> Ptinscer partie de cid='sym3> ter:

    L'posscule doursquationx, 3
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    Actoncet&eaain ;ses norille squationx, 3 tdiv> tumy bli> ter'> tdivaef='#n"possc"> tiref='#n"fles mon-faite">x, < tydiv> tdivaef='#n"plume"> tdivaef='#n"dael">17 oc claa 2017tydiv> tdivaef='#n"footn">Mille en t bele(S les-Denis, 19-21/10)tydiv> tydiv> bli> ter'> tdivaef='#n"possc"> tiref='#n"fles mon-faite">x, < tydiv> tdivaef='#n"plume"> tdivaef='#n"dael">15 oc claa 2017tydiv> tdivaef='#n"footn">Gathering For Gardner (Pare , 21/10)tydiv> tydiv> bli> ter'> tdivaef='#n"possc"> tiref='#n"fles mon-faite">x, < tydiv> tdivaef='#n"plume"> tdivaef='#n"dael">13 oc claa 2017tydiv> tdivaef='#n"footn">Mill m17lrodè ciddiv> tydiv> bli> ter'> tdivaef='#n"possc"> tiref='#n"fles mon-faite">x, < tydiv> tdivaef='#n"plume"> tdivaef='#n"dael">11 oc claa 2017tydiv> tdivaef='#n"footn">Leorillns de mathme gr lu y a n (B etges, 17/10)tydiv> tydiv> bli> ter'> tdivaef='#n"possc"> tiref='#n"fles mon-faite">x, < tydiv> tdivaef='#n"plume"> tdivaef='#n"dael">8 oc claa 2017tydiv> tdivaef='#n"footn">Exricté leux enco3x+1u’à permet pptire(Brie-Com;osRobert, 7/10-2/12)tydiv> tydiv> bli> ter'> tdivaef='#n"possc"> tiref='#n"fles mon-faite">x, < tydiv> tdivaef='#n"plume"> tdivaef='#n"dael">6 oc claa 2017tydiv> tdivaef='#n"footn">Leon rt lttesme gret us de l (Pare , 12/10)tydiv> tydiv> tdivaef='#n"block-sight block-menre"> Smenre IDM tiref='#n"fles mon-plane">x, < tydiv> tformasp;" dgenter_newsltter" nenchodsps&#t"> tlarestfor="newsltter_ees l">Newsltter IDM tinput.14.7n"fext" name="newsltter_ees l"asp;"newsltter_ees l"ap;Vabholder="Ad8217; s-mail"> tbutt17l14.7n"submit">x, butt17< tyform> tli> ter'> xiref='#n"fles mon-'oml&ce">x, a> tli> ter'> r. ai/s l&#sdesrille"ref='#n"link-twi

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  • th3/Dest fort norillns de math
    tli>ter'> Mncés de mathénn, isid='syli> tli>ter'> E l&##8#82ote nons que col;id='syli> tli>ter'>

    Pa-46-.html">Mncés de math/p>

    Paid='syli> tli>ter'> ernièreIHPt217; la nt, celus de lsid='syli> tli>ter'> ernièreIHPte s217; la e smathcses et tnteon='syli> tli>ter'> T ement rs IHPid='syli> tli>ter'> Ment lla sorecu qtreid='syli> tli>ter'> Échoslla sorecu qtreid='syli> tli>ter'> Objetsds jupeg='syli> tli>ter'> Caf am la rilleid='syli> tli>ter'> e;onexmjec est sds t ement rid='syli> tli>ter'> Hs de les norillns de mathid='syli> tli>ter'> disceledentisonce es unid='syli> tli>ter'> Retntrcth p pdogogimatseux enco«ion &la à fnour nssèdelsèeux au»g='syli> tli>ter'> Conc serid='syli> tli>ter'> Mncés de math/la soplanète Terra id='syli> tli>ter'> e; podcast Henri Psèca t tli>ter'> disceles norille 2004 tli>ter'> disceles norille 2006g='syli> tli>ter'> Courein es no pour nog='syli> Eumy Enavr syli> sliref='#n"exe ceabtn">ser'> Dtaienog=' bli>ter'> Aune BenouellMirt lbrotme grilobjets fiocaleg='syli> bli>ter'> Bibliollèmath/me L&#iod mathorillns de mathid='syli> bli>ter'> Carnets pe aounsila soMMIid='syli> bli>ter'> Cartographieid='syli> bli>ter'> Faut-ilfns caspeures norille aurancns laseux en?id='syli> bli>ter'> Henri Psèca t bli>ter'> Jacmath Hadamard bli>ter'> Jean gr Rent e’Alembert bli>ter'> Joseph-Loupe Lagionge bli>ter'> Lanexmjec estr la ibuer lme dans s jumeaec bli>ter'> e; m&n s c c&#illns de mat bli>ter'> e;s 5 minluti Lobesgat bli>ter'> e;s figest nnemeparou&s bli>ter'> e;s iquerview u CIRM bli>ter'> Mncés de math/la soplanète Terra (2013) bli>ter'> Mncés de math/artie s plast math bli>ter'> Mncés de math/artIndunt ee bli>ter'> Mncés de math/artlangscel bli>ter'> r est-+.html">Mncés de math/artli bli>ter'> Mikhaïl Gromov,zgtoistre bli>ter'> Nicolas B etbaki bli>ter'> Ptourz-vPlaorilleeux en?id='syli> bli>ter'> Reciqsdes id='syli> bli>ter'> Tionsn optimal Eumy Eli>

  • th3/Qour cmmos-iblao?
    tli>ter'> Pr&eaain ;sotre prid='syli> tli>ter'> L'&eaain ;ioiptid='syli> tli>ter'> Foncé lses ra u ysetid='syli> tli>ter'> Nle='f&ce ncet&eaain ;id='syli> tli>ter'> Conl&cei>a>syli> Eumy Enavr
  • Eumy tdivaef='#n"'oml&rrai"> ter'> menu conl&cei>a>syli> Eumy Enavr t/div> tdivaef='#n"col-sight"> t/div> x,script> x,script> x,script> var _paq = _paq || []; _paq.push(['tiockPl&#View']); _paq.push(['ebubleLinkTiocking']); _paq.push(['setTiockerUrl', '/piwik/piwik.php']); _paq.push(['setSiutId', 1]); (funcé l() { var d=doculiqu,zg=d.createEe ci, ('script'), s=d.getEe ci, sByTagName('script')[0]; g.14.7n'fext/jon script'; g.defer=true; g.async=true; g.src='/piwik/piwik.js'; s.pari, Node.in7;rtBefore(g,s); })(); x,script>