De l’autre côté du miroir

Le 1er juillet 2013  - Ecrit par  Joaquín Navarro Voir les commentaires

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré

Cet article a été écrit en partenariat avec RBA

L’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques ont uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique,
publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. En 40 ouvrages, cette collection de qualité, issue
d’un projet collectif de mathématiciens espagnols, vise à présenter,
à travers une grande variété de points de vue, de multiples facettes
des sciences mathématiques, sous un aspect historique, humain, social,
technique, culturel ...

Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette nouvelle édition a été
entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ;
des préfaces et listes bibliographiques ont été ajoutées. Le Monde consacre un cahier spécial au lancement de cette collection présentée par Cédric Villani, qui en a écrit la préface générale.

Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série, un extrait sélectionné sera présenté sur Images des Mathématiques. Il sera également accompagné du sommaire du livre.

De l’autre côté du miroir : être soi-même ou pas ?

Préface de Valerio Vassallo, maître de conférences à l’Université Lille 1 et mathématicien en résidence à la Cité des Géométries

Tous les matins, on se poste devant la glace de sa salle de bains et observe son image.
Puis on se lave la figure, se coiffe, se maquille ou se rase. Pendant qu’on accomplit
tous ces rituels aussi anciens que l’humanité, on est surpris de découvrir un être qui
paraît identique à nous-mêmes, mais qui accuse toutefois quelques différences.

On se surprend soi-même à faire quelques gestes pour comprendre ce qui se passe.
On est tout autant étonné lorsqu’on regarde son image bouger dans une flaque d’eau,
une rivière ou un lac. Les mathématiciens et les physiciens ont souvent recours à ces
exemples pour introduire l’un des sujets majeurs des sciences : la symétrie. Les peintres
ont aussi été très sensibles à ce phénomène de réflexion. Un bel exemple de symétrie
est fourni par la toile Narcisse,
attribuée au Caravage et conservée à la Galerie nationale
d’art ancien de Rome.

Ces phénomènes de réflexion ne sont donc pas passés inaperçus aux yeux des
scientifiques et ont fait de la symétrie l’un des objets les plus étudiés. Les mathématiciens
disent que l’image de notre corps dans la glace est le symétrique de notre propre
corps par rapport au plan de la glace. Il ne s’agit pas alors seulement de contempler
une image (la sienne, en l’occurrence), mais aussi d’en apprécier les différences.

Dès l’école primaire, les professeurs sensibilisent les enfants à la notion de symétrie
au moyen de dessins. Souvent, ils font tracer une ligne droite sur une feuille de
papier (cette ligne remplacerait la glace), puis demandent aux enfants de dessiner un
objet à gauche de cette ligne, par exemple une lettre de l’alphabet, une maison ou
un personnage, et de tracer son symétrique par rapport à la ligne.

Le premier objet dessiné devient un autre objet. Si on trace une deuxième ligne
à côté du reflet de l’objet initial et parallèle à la précédente, puis on dessine l’image
symétrique du second objet par rapport à cette ligne, on obtient alors un troisième
objet parfaitement identique au premier.

Dans un langage plus technique, on peut dire qu’on a composé les deux
symétries, c’est-à-dire qu’on a appliqué une symétrie l’une après l’autre. On peut
remarquer que l’objet initial, en composant deux symétries, a subi un déplacement
ou, en langage mathématique, une translation. L’on comprend alors pourquoi les mathématiciens
se sont intéressés non seulement à une unique symétrie, mais
aussi aux effets obtenus en composant plusieurs symétries.

Dans certaines classes, les professeurs illustrent la théorie des symétries par des
expériences avec de vrais miroirs. Ainsi, un ou plusieurs petits miroirs (souvent de
forme rectangulaire) sont disposés verticalement, en parallèle ou côte à côte, pour
réfléchir des objets, et observer ainsi ce que devient leur image. Il est aussi intéressant
de regarder dans un miroir le mouvement d’une pendule et de constater que
le mouvement des aiguilles est renversé ! On dit alors que les symétries conservent
les longueurs des aiguilles, mais renversent le mouvement rotatoire. La symétrie
est donc une transformation des objets, qui change le sens des rotations et garde
inchangées les longueurs. Pour cette raison, entre autres, les mathématiciens ont
inventé un autre nom pour ces objets inchangés : les invariants.

Lorsque deux miroirs forment un angle particulier, on peut constater que le
nombre d’images change en fonction de la valeur de l’angle. Des couples de miroirs
juxtaposés forment un kaléidoscope, nom d’origine grecque qui signifie « regarder
un bel objet ». Les images des objets obtenues sont surprenantes et, comme le mot
kaléidoscope l’indique, elles sont vraiment très belles. Elles semblent suggérer que
l’objet initial a subi une rotation autour de l’axe formé par les deux miroirs. On
passe alors du monde réel au monde mathématique. Les mathématiciens ont en
effet découvert que les déplacements dans le plan des figures sont tous engendrés
par un seul et même mouvement : la symétrie !

Les images de kaléidoscopes rappellent parfois celles qu’on retrouve dans les
papiers peints, les mosaïques et les ornements. Les régularités présentes dans ces
images ne devaient pas intriguer que les artistes, mais aussi faire réfléchir les mathématiciens,
friands de tout ce qui leur semble « régulier ». Les scientifiques, étant toujours
préoccupés à chercher la symétrie dans leurs objets d’études habituels, comme
les équations algébriques ou les polygones réguliers, ont porté leur attention sur la
symétrie elle-même et inventé l’un de leurs outils les plus puissants pour la comprendre,
la théorie des groupes, que ce livre aborde. Il est surprenant de s’apercevoir
que les groupes ont été pressentis par les artisans et les artistes qui en ont laissé les
prémices dans les magnifiques motifs de l’Alhambra, à Grenade ! Ce lieu symbolise
à lui seul les croisements des génies artistique et scientifique et démontre que la
frontière entre art et mathématiques est parfois tellement subtile qu’il est difficile
de faire la différence entre les deux.

Extrait du Chapitre 6 - De la symétrie partout

Un petit tour du côté de la biologie et de la chimie

L’exploration de ce monde est très étendue : il présente en effet de nombreuses
occasions de s’arrêter et d’observer les manifestations naturelles de la symétrie.

La manifestation la plus spectaculaire de symétrie est celle de la double hélice de
l’ADN, une structure introduite dans notre culture par James Watson (né en 1928) et
Francis Crick (1916-2004) et qui est devenue une icône du progrès de l’humanité.

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Représentation de la double hélice de l’ADN.

Toutefois, dans le domaine biologique, il existe des centaines d’exemples de
processus, de motifs et de formes dans lesquels la symétrie a laissé son empreinte,
souvent de manière discrète. Nous donnerons ici quelques exemples courts. Ainsi, le
narval est habitué à n’avoir qu’une seule dent (et non pas une corne) qui présente
un enroulement caractéristique en spirale. Pourtant, certains spécimens en présentent
deux. Et quand cela est le cas, les deux sont des hélices de symétrie gauche. D’un
autre côté, la surface de l’adénovirus, un virus commun, est icosaédrique et dotée
d’une symétrie basique. Les cornes de l’argali de Marco Polo suivent une symétrie
hélicoïdale et sont énantiomorphes l’une à l’autre. On peut aussi penser que les
abeilles sont d’illustres géomètres, et aujourd’hui encore, on recherche le mécanisme
qui les pousse à construire leurs nids de manière si géométrique, en formant des
cellules hexagonales parfaites.

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Un papillon, un parfait exemple de symétrie bilatérale… ou d’éthologie en action ?

La musique symétrique

On peut parler longuement de l’influence
plus ou moins importante de la symétrie
dans la musique, mais ici, nous ne citerons
que quelques curiosités musicales symétriques
que, par exemple, des compositeurs
comme Bach, dans l’Art de la fugue
et Mozart ont présentées dans des pièces à
la symétrie évidente. Un exemple accessible
à tous est cette partition de Mozart qui se
joue à l’unisson par deux violons, un la lisant
à droite et l’autre, dans le sens inverse.

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Partition de la composition de Mozart intitulé Der Spiegel (Le Miroir).

[...]

PDF - 2.1 Mo
Sommaire du livre
Post-scriptum :

L’extrait proposé est choisi par le préfacier du livre : Valerio Vassallo. Celui-ci répondra aux commentaires éventuels.

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Pour citer cet article :

Joaquín Navarro — «De l’autre côté du miroir» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

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