De la beauté : la formule de Stokes

Le 30 juin 2009  - Ecrit par  Michèle Audin Voir les commentaires (11)

Esthétique

On peut trouver une formule mathématique « belle », esthétique, même sans y rien comprendre. De même que l’on apprécie d’écouter un concerto pour violon sans comprendre les règles et les idées selon lesquelles il a été composé. Voici par exemple un assemblage de quelques exemplaires du signe de l’intégrale

\[\int\]

avec son élégante courbure, qui le fait ressembler à une ouïe d’un violon, assemblés à de belles fractions avec ces $\partial$, des « d » aux doux arrondis...

\[\int\!\!\!\int_\Omega\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)\,dx\,dy=\int_CP\, dx+Q\, dy.\]

Cette formule s’appelle « formule de Green » [1], ou « formule de Green-Riemann ».

Il y a aussi la formule « de Green-Ostrogradsky », ou d’Ostrogradsky [2] :

\[\int\!\!\!\int\!\!\!\int_V{\rm div}\,F\cdot dV=\int\!\!\!\int_S F\cdot dS\]
que j’ai apprise il y a déjà longtemps dans un cours d’électromagnétisme : cette formule permet de calculer le flux d’un champ électrique à travers une surface. Elle exprime alors un théorème de Gauss.

Théorème de Gauss, du flux-divergence, formule d’Ostrogradsky, j’avoue avoir eu un peu de mal à m’y retrouver.

La légende raconte que les notes d’un cours de calcul différentiel donné par Ostrogradsky à Moscou avaient servi, par manque de papier-peint, à tapisser les murs de la chambre d’enfant d’une fillette russe qui ne s’appelait pas encore Sofia Kovalevskaya... et qui devait devenir mathématicienne [3]. Sans doute rêvait-elle en regardant ces formules. Sans doute les trouvait-elle belles. Sa familiarité avec ces formules qu’elle ne comprenait pas a-t-elle joué un rôle dans son goût pour les mathématiques ? Elle a raconté l’histoire comme si elle y croyait.

En ce temps-là, Sir George Gabriel Stokes [4], encore un Britannique, était déjà un mathématicien connu et reconnu, professeur à Cambridge, titulaire d’une chaire prestigieuse qu’Isaac Newton avait occupée en son temps... C’était un mathématicien et un physicien. Il a certainement pensé lui aussi à ces formules. Je ne sais pas sous quelle forme il les a écrites, sans doute quelque chose comme

\[\int\!\!\!\int_S{\rm rot}\,F\cdot dS=\int_C F\cdot dn.\]

Ce que l’on appelle aujourd’hui « la formule de Stokes » s’écrit sous une forme assez simple

\[\int_Vd\omega=\int_{\partial V}\omega.\]

Beaucoup plus sobre, n’est-ce pas ?

Une parenthèse

Peut-être n’êtes-vous pas contents que je parle si longtemps d’« objets » mathématiques en les traitant comme des « objets tout court ». Puisque vous m’avez suivie jusque là, voici un cas particulier de la formule de Stokes, le plus simple de tous :

\[\int_a^bf'(x)\,dx=f(b)-f(a).\]

Dans les pays anglo-saxons, on appelle ça « le théorème fondamental du calcul différentiel ». Les lycéens français des filières scientifiques ne l’appellent pas ainsi mais l’apprennent en terminale.

Beauté abstraite

Revenons à la formule de Stokes « avec $d\omega$ ». Ce n’est pas le but de ce billet de vous expliquer pourquoi, mais sachez qu’une des qualités de cette formule « courte », c’est qu’elle contient toutes celles que j’ai déjà écrites. C’est aussi une de ses beautés. Sa simplicité et sa généralité. Pour l’écrire ainsi, il fallait inventer

  • ce qui permet de passer du $P\, dx+Q\, dy$ de la formule de Green au $\omega$ de la formule « de Stokes »
  • ce qui permet de passer de $\omega$ à $d\omega$
  • et de $V$ à $\partial V$...

Ce sont des mathématiques du vingtième siècle [5].

La beauté de la formule, moins clinquante, plus secrète mais réelle, devenue beaucoup plus abstraite, repose maintenant sur le passage du $d$ de gauche au $\partial$ de droite. Il y aurait de quoi écrire quelques articles « hors piste » pour ce site, mais pour aujourd’hui, je m’arrête là [6].

Notes

[1Rien à voir avec Verlaine... C’est le nom d’un mathématicien anglais, George Green (1793—1841).

[2Du nom de Mikhail Vasilevich Ostrogradsky (1801—1862), un mathématicien russe.

[3Voir ici un article de ce site et de la publicité pour un livre.

[4Né en 1819, mort en 1903.

[5La forme différentielle $\omega$, sa dérivée extérieure $d\omega$ inventée par Élie Cartan (et aussi Georges de Rham et Erich Kähler), le bord $\partial V$ de la variété $V$...

[6Là gît l’homologie.

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Pour citer cet article :

Michèle Audin — «De la beauté : la formule de Stokes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • De la beauté : la formule de Stokes

    le 30 juin 2009 à 08:48, par Pierre Lescanne

    Et Navier ? Sommes-nous chauvin quand nous parlons de la formule de Navier-Stokes ?

    Pierre Lescanne

    Répondre à ce message
    • De la beauté : la formule de Stokes

      le 30 juin 2009 à 11:33, par Michèle Audin

      Nous parlons plutôt, comme Isabelle Gallagher sur ce site, d’équations de Navier-Stokes, un autre aspect des travaux de Stokes... et de Navier.

      Je ne pense pas que la formule de Stokes dont il est question ici soit vraiment liée (à part par leur père commun) aux équations de Navier-Stokes.

      Le « chauvinisme » en tout cas francophone pourrait plutôt nous amener à nous demander pourquoi le mathématicien suisse (vaudois) Georges de Rham (1903-1990) n’a pas droit à une page en français sur wikipedia (on le trouve en anglais et en allemand...) ?

      Répondre à ce message
      • De la beauté : la formule de Stokes

        le 1er juillet 2009 à 16:33, par Pierre Lescanne

        La formule de Stokes est bien loin pour moi, mais je vais aller voir sur le lien recommandé pour savoir si la formule sert aux équations.

        Pierre

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  • De la beauté : la formule de Stokes

    le 30 juin 2009 à 17:55, par a.leblanc

    Ce billet amène à mon avis au dilemne suivant : si les formules sont au coeur des mathématiques, en constituent en un sens la « beauté », de façon assez vague d’ailleurs, il faut bien reconnaître qu’elles sont aussi excluantes.

    Soulignons donc que derrière cette beauté abstraite de la formule de Stokes, « ce trésor de grâces florentines », pour piller Baudelaire, se cache un résultat mathématique bigrement utile pour les mathématiciens et les physiciens.

    Une remarque cependant : il semble que la formule de Stokes ne soit d’aucune utilité pour montrer l’irrationalité de $\sqrt{2}$.

    Répondre à ce message
    • De la beauté : la formule de Stokes

      le 1er juillet 2009 à 06:28, par Michèle Audin

      il semble que la formule de Stokes ne soit d’aucune utilité pour montrer l’irrationalité de $\sqrt{2}$

      Qui sait ?

      Je vous remercie pour ce message. J’en profite pour conseiller aux visiteurs du site de suivre le lien contenu dans votre message. Vos textes sur $\sqrt{2}$ sont brillants, félicitations !

      Répondre à ce message
    • La formule de Stokes à Hanoi

      le 1er juillet 2009 à 22:22, par Michèle Audin

      Je ne résiste pas au plaisir de signaler ici la renommée internationale d’Images des mathématiques, que l’on trouve même sur un forum créé par des éttudiants de mathématiques vietnamiens.

      Merci à eux...

      Répondre à ce message
      • La formule de Stokes à Hanoi

        le 2 juillet 2009 à 19:10, par Tran

        Veuillez m’excuser d’avoir traduit votre article sans votre autorisation. Il y a peu d’articles de mathématiques vietnamiens intéressants, on aimerait donc traduire des articles mathématiques étrangers en vietnamien pour les élèves et les étudiants qui aiment les mathématiques au Vietnam.

        Si vous nous permettez de traduire des articles sur ce site, nous vous en remercierons beaucoup.

        Cordialement.

        Répondre à ce message
        • La formule de Stokes à Hanoi

          le 2 juillet 2009 à 19:27, par Michèle Audin

          J’ai répondu personnellement à Tran.

          Mais, comme j’ai déjà hurlé auprès de tel ou tel site parce que l’on nous « piquait » des articles ou des idées sans nous citer, je donne aussi une réponse publique.

          J’aime beaucoup ce qu’a fait Tran, il a traduit un article en vietnamien, il a dit qui était l’auteur de l’article et il a dit d’où venait l’article en mettant un lien sur le site d’Images des mathématiques.

          Parfait. Je suis contente que mes articles soient lus. Ma « propriété intellectuelle [1] » est respectée

          Suivons l’exemple des étudiants vietnamiens !

          [1un grand mot, mais je n’en ai pas de plus petit.

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    • De la beauté : la formule de Stokes

      le 7 juillet 2009 à 11:15, par flandre

      moi aussi je trouve que « dilemne » serait plus joli que dilemme. il faudrait en parler aux académiciens.

      Répondre à ce message
  • De la beauté : la formule de Stokes

    le 1er juillet 2009 à 00:00, par Rémi Peyre

    Quand j’étais petit [en prépa, quoi], on dessinait un petit rond autour du symbole intégrale du second membre pour indiquer qu’on intégrait sur une courbe (ou une surface) fermée... Je trouvais les formules encore plus jolies comme ça !

    Répondre à ce message
  • De la beauté : la formule de Stokes

    le 3 juillet 2009 à 20:53, par Tran

    Je pense que la formule de Stokes est belle à l’autre égard de plus. Pour la démontrer, il faut des définitions précises de l’orientation d’une surface , plus généralement, d’une variété, et de l’homotopie. Tout cela est très beau. Au contraire, la formule de Green et de Green-Ostrogradsky sont démontrées intuitivement, donc pas rigoureusement. Cela ne satisfait pas quelques étudiants. Mais quand ils apprennent la formule de Stokes, leur souci sera levé, car tout deviendra clair.

    PS : mon message est peut-être difficile à comprendre, car je ne suis pas bien en français.

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