De la beauté : la formule de Stokes

Le 30 juin 2009  - Ecrit par  Michèle Audin Voir les commentaires (11)

Esthétique

On peut trouver une formule mathématique « belle », esthétique, même sans y rien comprendre. De même que l’on apprécie d’écouter un concerto pour violon sans comprendre les règles et les idées selon lesquelles il a été composé. Voici par exemple un assemblage de quelques exemplaires du signe de l’intégrale

\[\int\]

avec son élégante courbure, qui le fait ressembler à une ouïe d’un violon, assemblés à de belles fractions avec ces $\partial$, des « d » aux doux arrondis...

\[\int\!\!\!\int_\Omega\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)\,dx\,dy=\int_CP\, dx+Q\, dy.\]

Cette formule s’appelle « formule de Green » [1], ou « formule de Green-Riemann ».

Il y a aussi la formule « de Green-Ostrogradsky », ou d’Ostrogradsky [2] :

\[\int\!\!\!\int\!\!\!\int_V{\rm div}\,F\cdot dV=\int\!\!\!\int_S F\cdot dS\]
que j’ai apprise il y a déjà longtemps dans un cours d’électromagnétisme : cette formule permet de calculer le flux d’un champ électrique à travers une surface. Elle exprime alors un théorème de Gauss.

Théorème de Gauss, du flux-divergence, formule d’Ostrogradsky, j’avoue avoir eu un peu de mal à m’y retrouver.

La légende raconte que les notes d’un cours de calcul différentiel donné par Ostrogradsky à Moscou avaient servi, par manque de papier-peint, à tapisser les murs de la chambre d’enfant d’une fillette russe qui ne s’appelait pas encore Sofia Kovalevskaya... et qui devait devenir mathématicienne [3]. Sans doute rêvait-elle en regardant ces formules. Sans doute les trouvait-elle belles. Sa familiarité avec ces formules qu’elle ne comprenait pas a-t-elle joué un rôle dans son goût pour les mathématiques ? Elle a raconté l’histoire comme si elle y croyait.

En ce temps-là, Sir George Gabriel Stokes [4], encore un Britannique, était déjà un mathématicien connu et reconnu, professeur à Cambridge, titulaire d’une chaire prestigieuse qu’Isaac Newton avait occupée en son temps... C’était un mathématicien et un physicien. Il a certainement pensé lui aussi à ces formules. Je ne sais pas sous quelle forme il les a écrites, sans doute quelque chose comme

\[\int\!\!\!\int_S{\rm rot}\,F\cdot dS=\int_C F\cdot dn.\]

Ce que l’on appelle aujourd’hui « la formule de Stokes » s’écrit sous une forme assez simple

\[\int_Vd\omega=\int_{\partial V}\omega.\]

Beaucoup plus sobre, n’est-ce pas ?

Une parenthèse

Peut-être n’êtes-vous pas contents que je parle si longtemps d’« objets » mathématiques en les traitant comme des « objets tout court ». Puisque vous m’avez suivie jusque là, voici un cas particulier de la formule de Stokes, le plus simple de tous :

\[\int_a^bf'(x)\,dx=f(b)-f(a).\]

Dans les pays anglo-saxons, on appelle ça « le théorème fondamental du calcul différentiel ». Les lycéens français des filières scientifiques ne l’appellent pas ainsi mais l’apprennent en terminale.

Beauté abstraite

Revenons à la formule de Stokes « avec $d\omega$ ». Ce n’est pas le but de ce billet de vous expliquer pourquoi, mais sachez qu’une des qualités de cette formule « courte », c’est qu’elle contient toutes celles que j’ai déjà écrites. C’est aussi une de ses beautés. Sa simplicité et sa généralité. Pour l’écrire ainsi, il fallait inventer

  • ce qui permet de passer du $P\, dx+Q\, dy$ de la formule de Green au $\omega$ de la formule « de Stokes »
  • ce qui permet de passer de $\omega$ à $d\omega$
  • et de $V$ à $\partial V$...

Ce sont des mathématiques du vingtième siècle [5].

La beauté de la formule, moins clinquante, plus secrète mais réelle, devenue beaucoup plus abstraite, repose maintenant sur le passage du $d$ de gauche au $\partial$ de droite. Il y aurait de quoi écrire quelques articles « hors piste » pour ce site, mais pour aujourd’hui, je m’arrête là [6].

Notes

[1Rien à voir avec Verlaine... C’est le nom d’un mathématicien anglais, George Green (1793—1841).

[2Du nom de Mikhail Vasilevich Ostrogradsky (1801—1862), un mathématicien russe.

[3Voir ici un article de ce site et de la publicité pour un livre.

[4Né en 1819, mort en 1903.

[5La forme différentielle $\omega$, sa dérivée extérieure $d\omega$ inventée par Élie Cartan (et aussi Georges de Rham et Erich Kähler), le bord $\partial V$ de la variété $V$...

[6Là gît l’homologie.

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Pour citer cet article :

Michèle Audin — «De la beauté : la formule de Stokes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

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  • De la beauté : la formule de Stokes

    le 1er juillet 2009 à 00:00, par Rémi Peyre

    Quand j’étais petit [en prépa, quoi], on dessinait un petit rond autour du symbole intégrale du second membre pour indiquer qu’on intégrait sur une courbe (ou une surface) fermée... Je trouvais les formules encore plus jolies comme ça !

    Répondre à ce message

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