De la beauté : la formule de Stokes

Le 30 juin 2009  - Ecrit par  Michèle Audin Voir les commentaires (11)

Esthétique

On peut trouver une formule mathématique « belle », esthétique, même sans y rien comprendre. De même que l’on apprécie d’écouter un concerto pour violon sans comprendre les règles et les idées selon lesquelles il a été composé. Voici par exemple un assemblage de quelques exemplaires du signe de l’intégrale

\[\int\]

avec son élégante courbure, qui le fait ressembler à une ouïe d’un violon, assemblés à de belles fractions avec ces $\partial$, des « d » aux doux arrondis...

\[\int\!\!\!\int_\Omega\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)\,dx\,dy=\int_CP\, dx+Q\, dy.\]

Cette formule s’appelle « formule de Green » [1], ou « formule de Green-Riemann ».

Il y a aussi la formule « de Green-Ostrogradsky », ou d’Ostrogradsky [2] :

\[\int\!\!\!\int\!\!\!\int_V{\rm div}\,F\cdot dV=\int\!\!\!\int_S F\cdot dS\]
que j’ai apprise il y a déjà longtemps dans un cours d’électromagnétisme : cette formule permet de calculer le flux d’un champ électrique à travers une surface. Elle exprime alors un théorème de Gauss.

Théorème de Gauss, du flux-divergence, formule d’Ostrogradsky, j’avoue avoir eu un peu de mal à m’y retrouver.

La légende raconte que les notes d’un cours de calcul différentiel donné par Ostrogradsky à Moscou avaient servi, par manque de papier-peint, à tapisser les murs de la chambre d’enfant d’une fillette russe qui ne s’appelait pas encore Sofia Kovalevskaya... et qui devait devenir mathématicienne [3]. Sans doute rêvait-elle en regardant ces formules. Sans doute les trouvait-elle belles. Sa familiarité avec ces formules qu’elle ne comprenait pas a-t-elle joué un rôle dans son goût pour les mathématiques ? Elle a raconté l’histoire comme si elle y croyait.

En ce temps-là, Sir George Gabriel Stokes [4], encore un Britannique, était déjà un mathématicien connu et reconnu, professeur à Cambridge, titulaire d’une chaire prestigieuse qu’Isaac Newton avait occupée en son temps... C’était un mathématicien et un physicien. Il a certainement pensé lui aussi à ces formules. Je ne sais pas sous quelle forme il les a écrites, sans doute quelque chose comme

\[\int\!\!\!\int_S{\rm rot}\,F\cdot dS=\int_C F\cdot dn.\]

Ce que l’on appelle aujourd’hui « la formule de Stokes » s’écrit sous une forme assez simple

\[\int_Vd\omega=\int_{\partial V}\omega.\]

Beaucoup plus sobre, n’est-ce pas ?

Une parenthèse

Peut-être n’êtes-vous pas contents que je parle si longtemps d’« objets » mathématiques en les traitant comme des « objets tout court ». Puisque vous m’avez suivie jusque là, voici un cas particulier de la formule de Stokes, le plus simple de tous :

\[\int_a^bf'(x)\,dx=f(b)-f(a).\]

Dans les pays anglo-saxons, on appelle ça « le théorème fondamental du calcul différentiel ». Les lycéens français des filières scientifiques ne l’appellent pas ainsi mais l’apprennent en terminale.

Beauté abstraite

Revenons à la formule de Stokes « avec $d\omega$ ». Ce n’est pas le but de ce billet de vous expliquer pourquoi, mais sachez qu’une des qualités de cette formule « courte », c’est qu’elle contient toutes celles que j’ai déjà écrites. C’est aussi une de ses beautés. Sa simplicité et sa généralité. Pour l’écrire ainsi, il fallait inventer

  • ce qui permet de passer du $P\, dx+Q\, dy$ de la formule de Green au $\omega$ de la formule « de Stokes »
  • ce qui permet de passer de $\omega$ à $d\omega$
  • et de $V$ à $\partial V$...

Ce sont des mathématiques du vingtième siècle [5].

La beauté de la formule, moins clinquante, plus secrète mais réelle, devenue beaucoup plus abstraite, repose maintenant sur le passage du $d$ de gauche au $\partial$ de droite. Il y aurait de quoi écrire quelques articles « hors piste » pour ce site, mais pour aujourd’hui, je m’arrête là [6].

Notes

[1Rien à voir avec Verlaine... C’est le nom d’un mathématicien anglais, George Green (1793—1841).

[2Du nom de Mikhail Vasilevich Ostrogradsky (1801—1862), un mathématicien russe.

[3Voir ici un article de ce site et de la publicité pour un livre.

[4Né en 1819, mort en 1903.

[5La forme différentielle $\omega$, sa dérivée extérieure $d\omega$ inventée par Élie Cartan (et aussi Georges de Rham et Erich Kähler), le bord $\partial V$ de la variété $V$...

[6Là gît l’homologie.

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Pour citer cet article :

Michèle Audin — «De la beauté : la formule de Stokes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

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  • De la beauté : la formule de Stokes

    le 3 juillet 2009 à 20:53, par Tran

    Je pense que la formule de Stokes est belle à l’autre égard de plus. Pour la démontrer, il faut des définitions précises de l’orientation d’une surface , plus généralement, d’une variété, et de l’homotopie. Tout cela est très beau. Au contraire, la formule de Green et de Green-Ostrogradsky sont démontrées intuitivement, donc pas rigoureusement. Cela ne satisfait pas quelques étudiants. Mais quand ils apprennent la formule de Stokes, leur souci sera levé, car tout deviendra clair.

    PS : mon message est peut-être difficile à comprendre, car je ne suis pas bien en français.

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