Voici une preuve de la connexité du lapin de Douady, telle qu’elle m’a été envoyée par Arnaud Chéritat. Hélas, nul ne la comprendra qui n’est géomètre. Mais cela n’empêche pas de constater le sens du théorème sur l’image.

Le lapin de Douady est l’ensemble de Julia du polynôme $P(z)=z^2+c$, où $c$ est choisi ainsi : on veut que le point critique $(z=0)$ soit périodique de période 3. Il y a trois valeurs de $c$ solution, une réelle et deux complexes conjuguées, on prend celle qui a la partie imaginaire positive.

Notons que son paramètre est dans le membre 1/3 de l’ensemble de Mandelbrot $M$, c’est en fait le « centre » de la copie hyperbolique (le domaine ressemblant à un disque) attachée au bord de $M$.

La connexité se démontre ainsi : $J$ est la frontière de $K$ qui est le complémentaire du bassin d’attraction de l’infini. Pour un polynôme, $K$ est connexe si et seulement si $J$ est connexe, ou encore si et seulement si aucun point critique ne s’échappe à l’infini. Ça se démontre en prenant les préimages successives d’un grand disque. L’unique point critique du lapin est périodique, donc $J$ est connexe.

Soyons plus précis. Soit $D$ un disque assez grand pour contenir $K$.
Si tous les points critiques ont une orbite bornée, alors elle reste dans $D$.
La préimage d’un ouvert connexe qui contient toutes les valeurs
critiques est connexe.
$K$ est l’intersection décroissante des compacts connexes
$adherence(f^{-n}(D))$ et donc est connexe.

Si au moins un point critique s’échappe, il faut voir que la préimage a, à partir
d’un certain rang, au moins deux composantes connexes (et alors plus
on va tirer en arrière, plus il y en aura). Ce rang est le premier
auquel au moins un point critique n’est pas dans la $n$-ième préimage
$f^{-n}(D)$. En effet, la $(n-1)$-ème préimage est connexe. Ensuite, par le principe du maximum, la préimage d’un ouvert simplement connexe est une union (finie) d’ouverts simplement connexes. La formule de Riemann-Hurwitz donne
qu’il y en a plus d’un.