De la deystiviya des mathématiques sur la musique

27 mars 2016  - Ecrit par  Pierre de la Harpe Voir les commentaires (4)

Dans le titre et plus bas, « deystiviya » est un terme russe siginifiant « action ».

Leonhard Euler a-t-il jamais inspiré Jean-Sébastien Bach ?
Les arguments pour établir la thèse sont minces
 [1],
mais il me plait de l’imaginer.
Après tout, ils furent tous deux invités par le roi de Prusse Frédéric II.
A Euler, le roi offrit un poste de chercheur,
et Euler passa 25 ans à l’Académie de Berlin.
A Bach, lors de leur rencontre de mai 1747, le roi offrit un thème,
et Bach en fit celui de l’Offrande Musicale.

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Le thème du Roi

On pourrait échafauder un roman
qui commencerait avec le traité
 [2]
d’Euler sur les palindromes,
perdu pour presque tous mais connu de Bach,
à qui il aurait inspiré le Canon du Crabe de l’Offrande Musicale ;
le traité aurait ensuite traversé
1221 vicissitudes avant d’être redécouvert
spectaculairement en 2112 par un descendant de Georges Perec...

Voici le canon du crabe, qui existe bel et bien, à voir

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Le canon du crabe

et à entendre, par exemple dans la présentation de Jos Leys
 [3].

Sautons deux bons siècles.
Ce qui n’est pas une fiction et m’a frappé récemment,
c’est une application à la musique contemporaine
de la résolution par Perelman de la conjecture de Poincaré.
Rappelons que, entre novembre 2002 et juillet 2003,
Grigori Perelman créait la surprise en postant sur la toile
trois articles indiquant une démonstration
de la conjecture de géométrisation de Thurston (de 1976),
et donc en particulier de la conjecture de Poincaré (de 1904).
Images des maths s’en est largement fait l’écho, voir par exemple
ici
et
.

Chez les mathématiciens,
le retentissement des idées de Perelman fut (est !) immense.
Mais dans le reste de la société me direz-vous ?

Ivan Fedele est un compositeur italien confirmé,
qui publie et fait jouer depuis les années 80
des oeuvres pour toutes sortes de formations,
un opéra, des concertos et des oeuvres pour orchestre,
de la musique de chambre, etc.
Une liste de ses oeuvres est disponible sur le site de l’IRCAM
 [4].
On lui doit notamment « Deystiviya »
pour accordéon et quatuor à cordes,
créé le 14 décembre 2011 dans la salle Rachmaninov du Conservatoire Tchaikovsky
de Moscou.

Sur le site de Fedele
 [5],
on peut lire (en italien) un texte où le compositeur évoque les sources de son inspiration. Il y mentionne la conjecture de Poincaré, en précisant que
sa démonstration a occupé les plus grands mathématiciens pendant une centaine d’années, et quelques notions de topologie dont celle de « variétés homéomorphes ». Il parle aussi de formes intégrées dans le plan de la partition, formes qui se transforment parfois continûment et parfois
discontinûment, comme l’espace dans lequel se trouvent les instruments — il s’agit d’un texte de musicien et non d’un texte de topologue.

Ainsi le sillage des idées de Perelman a déjà atteint les
studios de musique contemporaine.
Qui doute encore que la recherche fondamentale en mathématique
fait partie de l’activité artistique la plus générale ?

A propos du logo

La ligne musicale présente sous le titre
 [6]
reproduit 12 notes connues pour être le thème
du quatuor op. 28 d’Anton Webern, créé en 1938.
Les noms des quatre premières notes,
(si bémol)-la-do-si en français,
deviennent B-A-C-H en allemand.
Le thème se trouve dans plusieurs oeuvres de J.-S. Bach lui-même.
Les quatre notes suivantes forment un motif à la fois symétrique et régrograde (symétrique car chaque intervalle montant ou descendant
correspond à un intervalle descendant ou montant de même amplitude dans la succession des 4 premières notes, ici partant à la tierce augmentée ré-dièse de si-bémol, et également rétrograde car il s’agit des quatre premières notes jouées à partir de la fin, transposées une tierce majeure plus haut),
et les quatre dernières notes reproduisent les premières, transposées une tierce plus bas. Par ailleurs, le motif des six dernières notes est le symétrique rétrograde des six premières. De plus, les 12 notes du thème sont les douze notes de la gamme chromatique, comme il se doit dans une série (autrement dit un thème) de musique sérielle (ou dodécaphonique). Vive la symétrie.

La description ci-dessus suit les notes qu’on peut lire dans Wikipédia.
C’est un peu plus difficile de les dénicher dans la partition de Webern ;
on les trouve aux mesures 1 à 6 du premier mouvement,
transposées à la tierce mineure inférieure,
en suivant successivement les lignes
de l’alto (sol, fa-dièse), du violon 1 (la, sol-dièse),
du violon 2 (do, ré-bémol, si-bémol),
du violoncelle (si, mi-bémol, ré),
et enfin de l’alto (fa, mi).
On repère aussi B-A-C-H (si-bémol-la-do-si) plus loin,
par exemple aux mesures 66 et 67 de ce même premier mouvement.

Bonne écoute du quatuor
 [7]
et bonne lecture de la partition
 [8].

Post-scriptum :

Je remercie Jean-Paul Allouche, Shaula Fiorelli-Vilmart, Jean-Blaise Paschoud et Jean Schmid de plusieurs messages bien utiles à la rédaction de ce billet.

Notes

[1Quoique !
Euler a écrit un Tentamen novae theoriae musicae, dont une partie au moins semble avoir été traduite en allemand par un étudiant de Bach nommé Lorenz Christoph Mizler ; voir
https://mathemusic.wordpress.com/20...

[2Traité qui avait d’ailleurs longuement muri, puisqu’Euler avait présenté à Saint-Pétersbourg, en 1733 déjà, un article sur les polynômes palindromiques.
Dans l’article d’Euler, aujourd’hui disponible en anglais sur
http://arxiv.org/abs/0806.1927,
le terme utilisé est « réciproque », plutôt que « palindromique ».

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Pour citer cet article :

Pierre de la Harpe — «De la deystiviya des mathématiques sur la musique» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

img_15560 - https://en.wikipedia.org/wiki/String_Quartet_(Webern)
img_15561 - https://en.wikipedia.org/wiki/The_Musical_Offering
img_15562 - http://godel-escher-bach.wikia.com/wiki/Crab_Canon

Commentaire sur l'article

  • De la deystiviya des mathématiques sur la musique

    le 28 mars à 16:56, par ROUX

    Et, «  i fois pi sur e  », version un iquement eulerienne de la cerise sur le gâteau, vous vous appelez... De la Harpe  :) !!!

    Répondre à ce message
    • De la deystiviya des mathématiques sur la musique

      le 28 mars à 19:34, par Thierry Dumont

      Bach a t-il rencontré Euler ? Voilà bien un sujet qui fascine !

      Contre :

      • certainement pas à Potsdam lors de la visite de Bach. Euler y allait rarement, tant ses idées étaient éloignées de celles des invités de Frederic II.
      • Bach a malgré tout peu voyagé, et il ne semble pas non plus que Euler soit venu à Leipzig (ni ailleurs ou Bach a vécu).

      Pour :

      • Bach a donné un récital d’orgue à Berlin, si on en croit Gilles Cantagrel. Vu la proximité religieuse entre JSB et Euler, pourquoi celui-ci n’aurait il pas été l’écouter ?

      Supposons qu’ils se soient rencontrés (après 39) : Euler aura peut être expliqué à Bach ses théories sur la musique (le Tentamen) : pas sûr que Bach ait accepté qu’on classe la sixte majeure dans les accords dissonants (résultat des théories d’Euler).

      Bon, c’est bien spéculatif.

      Répondre à ce message
      • De la deystiviya des mathématiques sur la musique

        le 11 avril à 18:23, par Pierre de la Harpe

        Merci de ces indications. Sans avoir les moyens de prendre parti, ni sur la sixte majeure ni sur l’hypothèse d’une rencontre entre Euler et Bach, j’ai envie de verser au débat les points suivants.

        Un ami violoncelliste me signale qu’on peut conjecturer une connexion entre Euler et Bach par l’intermédiaire de Mizler. Il s’agit plus précisément de Lorenz Christoph Mizler von Kolof (1711-1778), médecin, historien, imprimeur, mathématicien, compositeur de musique baroque, etc. D’une part, Mizler fut élève de Bach ; d’autre part, il semble avoir traduit de latin en allemand le traité théorique d’Euler sur la musique intitulé le Tentamen, ou plus complètement le « Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae » (voir http://eulerarchive.maa.org/pages/E033.html ). On ignore si Bach a jamais lu cet ouvrage.

        Voici quelques lignes recopiées de wikipedia :

        « En 1747, [Bach] intègre la Correspondierende Societät der musicalischen Wissenschaften fondée par Lorenz Christoph Mizler, pour laquelle il dut fournir chaque année une communication scientifique dans le domaine musical (...). C’est pour cette société qu’ll compose et fait publier les variations canoniques (1747), l’offrande musicale (1748) et il est probable que l’Art de la fugue (laissé légèrement inachevé) devait être la contribution de l’année suivante. »

        La société fondée par Mizler avait pour but de favoriser la circulation des travaux théoriques des musiciens savants. Elle comprenait au plus 20 membres. Parmi ceux-ci, on relève les noms de Telemann, Handel, et Bach. Toujours d’après Wikipedia, Mozart déclina une invitation à rejoindre la société.

        Répondre à ce message
        • De la deystiviya des mathématiques sur la musique

          le 17 avril à 10:41, par Thierry Dumont

          Dans le livre collectif « Tout Bach » (Robert Laffont, 2009), il y a au moins deux articles qui traitent des rapports de Bach avec les mathématiques ; un article intitulé « Mathématique » et un autre intitulé « Nombres et numérologie » (les deux dus à S. Vincent-Lancrin).

          L’auteur fait d’abord remarquer que, vu l’intérèt porté par Bach à la théorie musicale et à l’organologie, il était forcément nourrit de la culture de son temps. Il cite Forkel, qui présente Bach comme « très érudit en mathématiques » (probablement par rapport à la culture de base de l’époque), et Mitzler qui a écrit dans son journal que « la mathématique est le cœur et l’âme de la musique. ». L’auteur rajoute qu’il y a eu un débat là-dessus entre Matteson et Mitlzer, et que Bach était proche de la position de Mitzler.

          L’article « Nombres et numérologie » rappelle les fameux 14 (B+A+C+H en comptant A=1, B=2 etc (mais on identifie I et J, ainsi que U et V), et 41 (en ajoutant J+S) qui apparaissent à plein d’endroits dans l’œuvre., mais s’en prend - a juste titre- aux excès numérologiques comme ceux du livre « Bach et le nombre » (1995).
          Malgré tout les liens entre le chiffre 3 (structures ternaires) et l’évocation de la Trinité ne sont probablement pas à rejeter : il me semble avoir lu que Goldbach était motivé par ce genre de considération quand il a formulé sa conjecture (sous la forme : « Tout nombre plus grand que 2 peut être écrit comme une somme de trois nombres premiers.. »).
          Golbach et Bach était parfaitement contemporains, et partageaient la même vision Luthérienne du monde.

          Répondre à ce message

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