Différents phénomènes, une même philosophie.

Quel est le point commun entre le mascaret, cette vague remontant un fleuve ou une rivière sur plusieurs kilomètres et les rides à la surface d’une flaque d’eau lorsqu’on y jette une pierre ? Dans les deux cas, une onde se propage à la surface d’un film liquide « peu profond ». Cette notion de profondeur est relative : prenons l’exemple d’une flaque d’eau, celle-ci apparaît peu profonde à un être humain et très profonde à un insecte. Pour définir la profondeur d’un film liquide, on mesure le rapport entre la hauteur moyenne du film liquide et une longueur caractéristique [1] sur laquelle varie l’écoulement. L’écoulement est dit « peu profond » si ce rapport est petit : typiquement un fleuve ayant une profondeur maximale de quelques mètres et s’écoulant sur plusieurs kilomètres peut être considéré comme un film liquide peu profond. Un grand nombre d’exemples d’écoulements de films minces viennent de la nature : un océan, vu à l’échelle planétaire, une coulée de boue ou une inondation après de fortes averses, une coulée de lave après une éruption volcanique, un tsunami (lorsqu’il est au large) [2] ou encore les « mers » de glace [3].

Certaines applications industrielles nécessitent également de comprendre et de contrôler des écoulements peu profonds : peinture, photographie, imprimerie, sidérurgie (fabrication de plaques d’acier, de pare brises), bâtiment et travaux publics (coulage du béton), lubrification des moteurs. Les exemples cités donnent une idée de l’importance de l’étude de tels écoulements et les nombreuses applications qui peuvent en découler : construction de protections (paravalanches, barrages), détermination de zones inondables ou de zones de pollution, conception de ponts résistants à certains épisodes de crues, prévention de l’érosion des zones littorales.

Quiconque a observé l’écoulement d’une rivière avec ses ressauts et ses tourbillons, la surface de la mer agitée par les vagues ou encore la pluie s’écoulant sur une vitre peut se convaincre que la description de tels phénomènes est un problème difficile. C’est en fait l’un des problèmes les plus intéressants de la physique moderne, qui se trouve au carrefour de plusieurs disciplines scientifiques : la physique (mécanique des fluides), les mathématiques (modélisation, analyse, simulations numériques) et des sciences de l’ingénieur (génie civil, hydrologie). Je vais détailler le travail et les interactions entre physiciens et mathématiciens sur ce problème.

Description de l’évolution des fluides.

Une des premières étapes dans l’étude des écoulements de films liquides concerne l’écriture des équations régissant le mouvement des fluides. L’établissement de ces équations est calqué sur celui de la mécanique des solides à ceci près qu’il faut tenir compte d’une caractéristique importante : un fluide se déforme sous l’action de forces extérieures. L’état d’un fluide est donné en général par sa densité et sa vitesse (auxquelles on peut ajouter d’autres paramètres selon les applications : température, pression).

Il existe deux approches permettant de décrire l’évolution d’un fluide. L’approche lagrangienne [4] consiste à choisir une particule fluide et à étudier son évolution au cours du temps : comment elle se déforme, quelle est sa vitesse. Imaginez que vous observiez une rivière et que vous versiez un marqueur dans l’eau : l’approche lagrangienne revient (intuitivement) à suivre la zone marquée au cours du temps. L’approche eulérienne [5] consiste, elle, à se fixer une zone de contrôle et à décrire la vitesse et la densité du fluide à l’intérieur de celle-ci. Pour un observateur extérieur, cela revient à fixer un point de l’écoulement et à étudier l’évolution de la vitesse et de la densité au cours du temps. À un changement de variable près, les deux approches sont équivalentes mais, selon les applications, l’une ou l’autre des descriptions est plus commode. En faisant cette étude pour n’importe quelle particule du fluide (description lagrangienne) ou n’importe quel volume de contrôle (description eulérienne), on décrit complètement l’évolution du fluide.

On établit les équations régissant le mouvement d’un fluide de la même manière que pour un solide. Pour illustrer ce fait et pour faciliter l’analogie, on utilise la description lagrangienne et on étudie le mouvement d’une particule fluide. La position des particules est déterminée par leurs vitesses et leurs positions initiales : $\dot{x}(t)=v(x(t),t)$ où $v$ est la vitesse du fluide et $x$ la position de la particule (l’analogue en mécanique du solide serait $\dot{x}(t)=v(t)$ où $x$ est la position du solide). De cette première équation, on déduit une équation traduisant la conservation de la masse [6]. Si le fluide est de densité constante, cette équation de conservation devient une condition géométrique : la particule de fluide peut se déformer mais son volume doit être préservé au cours du temps.

Pour étudier l’évolution en temps de la vitesse, on applique la deuxième loi fondamentale de la mécanique : la dérivée de la quantité de mouvement de la particule fluide est égale à la somme des forces extérieures s’exerçant sur cette particule. Faisons un bilan de ces forces. Il y a d’une part les forces « classiques » s’exerçant sur toute la particule fluide : forces de gravité, champ électromagnétique (si le fluide est chargé) ; ou à sa surface libre [7] : tension de surface, traction du vent [8].

Enfin, si la particule fluide est immergée, le fluide environnant exerce une force sur la particule. Cette force peut se décomposer entre une composante normale à la surface de la particule fluide et une composante s’exerçant dans le plan tangent à la surface de la particule. La composante normale tend à comprimer (ou détendre) le fluide : elle correspond à la pression du fluide environnant, qui est une inconnue du problème. La composante tangentielle tend, elle, à cisailler la particule fluide. Pour cette dernière, on doit établir une relation entre la force de cisaillement exercée sur le fluide et son taux de déformation. On introduit au passage un paramètre de viscosité : plus un solide est visqueux, plus la force exercée pour le déformer doit être importante.

Comprendre comment un fluide se déforme sous l’effet d’une force de cisaillement (et dans quelle proportion) est un problème difficile et un domaine [9] à part entière de la mécanique des fluides : par exemple l’eau, la boue, la neige ou encore les liquides utilisés dans l’industrie (peinture, pâtes alimentaires comme le ketchup) exhibent une très grande variété de comportements. Un exemple très célèbre de fluide exhibant un comportement « étrange » est le mélange eau/maïzena qui se durcit en cas de choc (déformation rapide) mais possède un comportement complètement fluide pour les déformations lentes (voir cette expérience où l’on a rempli une piscine de ce mélange pour...« marcher sur l’eau »). Pour étudier la rhéologie d’un fluide, les physiciens proposent en général une loi de comportement et, à l’aide de mesures précises, calculent les coefficients (au départ inconnus) contenus dans le modèle.
Une fois ce bilan établi, on obtient un système d’équations aux dérivées partielles avec trois équations pour la vitesse, une pour la densité, auxquelles il faut parfois ajouter une équation sur la température et dont les équations de Navier-Stokes [10] sont un cas particulier. Ces équations de Navier-Stokes donnent la loi de comportement la plus simple possible : le taux de déformation du fluide est supposé proportionnel à la force de cisaillement. Dans ce cas, le fluide est dit newtonien.

Pour un système d’équations donné, les questions qui se posent au mathématicien sont de deux ordres : étant donné une configuration initiale, existe-t-il une solution du problème et, le cas échéant, cette solution est-elle unique ? Ensuite, pour deux données initiales proches, les solutions associées restent-elles proches ? Ces questions, a priori purement théoriques, ne sont pas sans lien avec le problème physique : elles sont liées aux questions d’observabilité et de reproductibilité d’une expérience physique. En effet, pour les mêmes conditions expérimentales, on souhaite observer la même chose (unicité de la solution). De plus, on souhaite que les erreurs (de mesure, de calcul) ne polluent pas trop la« vraie solution du problème » (stabilité de la solution). Ces questions sont encore loin d’être résolues complètement, même dans des situations très simples : la résolution des équations de Navier-Stokes fait partie de l’un des sept problèmes du millénaire proposés par la Fondation Clay [11].

Simplifier les équations : modélisation et analyse dimensionnelle.

Les équations « complètes » de la mécanique des fluides tiennent compte d’un grand nombre de phénomènes physiques et sont en général très difficiles à analyser. On doit en principe résoudre un problème en trois dimensions dans un domaine variant au cours du temps et dépendant de l’inconnue elle même. Même avec la puissance de calcul des ordinateurs actuels, il est difficile de faire des simulations numériques efficaces (rapides) des écoulements de films liquides qui nous intéressent.

L’idée est donc de simplifier les équations pour rendre le problème plus abordable tout en conservant les phénomènes physiques pertinents. Pour cela, il faut pouvoir mesurer l’importance de chacune des données du problème [12]. Ceci se fait en introduisant un certain nombre de quantités caractéristiques.

On commence par introduire une échelle spatiale. Pour un film liquide, on s’intéresse à sa hauteur caractéristique $H$ rapportée à la longueur d’onde $L$ des ondulations de la surface libre. Le paramètre d’aspect $\varepsilon=\frac{H}{L}$ mesure la « profondeur » du film. Lorsque le film liquide est mince, on introduit l’hypothèse de modélisation : « $\varepsilon$ est petit » [13]. Les dimensions spatiales de l’écoulement ainsi fixées, il faut ensuite préciser un temps caractéristique pendant lequel on observe cet écoulement (la durée d’une expérience) ou, de manière équivalente, une vitesse caractéristique $U$ liée à l’écoulement lui-même. Ceci permet de définir l’ordre de grandeur des forces d’inertie (=la variation de la quantité de mouvement) par la formule $\rho U^2/L$, $\rho$ étant un ordre de grandeur de la densité du fluide.

On évalue ensuite l’importance relative de chaque force s’exerçant sur le fluide en introduisant des nombres sans dimension. Un de ces nombres est le nombre de Reynolds, noté $R_e$, qui est le rapport entre les forces d’inertie et les forces visqueuses caractéristiques. Ce nombre est défini par la formule \[R_e=\rho(U^2/L)/\nu(U/L^2)=\rho UL/\nu,\] $\nu$ désignant la viscosité du fluide et $U$ sa vitesse moyenne. On voit que ce nombre de Reynolds dépend aussi bien des propriétés du fluide (viscosité, densité) que de l’écoulement lui même (vitesse, longueurs caractéristiques). Intuitivement, un petit nombre de Reynolds correspond à un écoulement relativement lent ou une viscosité très importante (vidange naturelle entre deux lacs, coulée de lave) alors qu’un grand nombre de Reynolds correspond à un écoulement très rapide ou une viscosité du fluide très faible (écoulement d’un fleuve ou d’une rivière). Pour les écoulements gravitaires (c’est-à-dire pour lesquels la force de pesanteur est prédominante sur les autres forces extérieures), on introduit le nombre de Froude qui mesure l’importance des forces de gravité par rapport à l’accélération du fluide. Le nombre de Froude mesure également le rapport entre la vitesse du fluide et la vitesse des ondes de surface du fluide. Selon la taille de ces nombres, on peut dire quels phénomènes dominent et obtenir des modèles plus simples. En voici quelques exemples :

• Les modèles de lubrification. Ces modèles permettent, par exemple, de décrire l’écoulement de gouttes (de l’eau sur une vitre, les larmes de vin dans un verre) ou, comme leur nom l’indique, les écoulements de lubrification (dans les moteurs par exemple). À cette échelle, les effets de tension de surface sont importants et doivent, en principe, être pris en compte. Ces modèles sont très simples car ils se réduisent à une seule équation sur la hauteur. Pour établir cette équation, on suppose que le fluide est mince et le nombre de Reynolds est faible. Dans ce cas, les forces d’inertie sont négligeables et les forces de gravité, de viscosité et de pression s’équilibrent : pour une hauteur de fluide donnée à un endroit, la vitesse et la pression sont prescrites (ce sont des fonctions de la hauteur). On obtient l’équation sur la hauteur en partant de l’équation de conservation de la masse dans laquelle on utilise le fait que la vitesse est fonction de la hauteur.

• Les équations de Saint Venant. Ces modèles sont bien adaptés pour décrire les écoulements des rivières ou des fleuves, les coulées de boue ou les avalanches de neige « dense » [14]. Lorsque la couche de fluide est mince et le nombre de Reynolds est de taille intermédiaire, les forces d’inertie ne sont plus négligeables. Dans ce régime, les forces de pression et de gravité s’équilibrent dans la direction verticale, ce qui prescrit la pression en fonction de la hauteur de fluide. Le fluide étant mince, on a une bonne approximation de la vitesse verticale à l’aide de la variation temporelle de la hauteur. Il suffit donc simplement d’obtenir une bonne approximation de la vitesse horizontale du fluide pour décrire efficacement l’écoulement. Dans ce cas, on cherche un système d’équations d’évolution sur la hauteur du fluide et sur la vitesse horizontale moyenne. Ce système a été obtenu pour la première fois et de manière heuristique en 1871 par Barré de Saint Venant : il avait pour but de décrire l’effet de la marée aux embouchures des fleuves. Il est aujourd’hui très populaire auprès des ingénieurs et sert à déterminer des zones d’inondations ou de pollutions.

• Les équations de l’océanographie. Les deux précédents modèles ne sont plus pertinents lorsqu’il s’agit de modéliser la propagation des vagues (comme le mascaret) ou la circulation des océans. Dans les deux cas, les forces de viscosités sont négligeables et d’autres phénomènes rentrent en jeu. Concernant le problème de la propagation des vagues, les deux précédents modèles prescrivent la vitesse en fonction de la hauteur de fluide et ne prennent pas en compte le phénomène de dispersion observé dans ce cas. En fait la vitesse de propagation d’une onde dépend aussi de sa longueur d’onde. Il faut alors ajouter aux équations de Saint Venant des termes correctifs prenant en compte ce phénomène : parmi ces modèles figurent les équations de Boussinesq [15]. Pour les modèles de circulation océanique, la force de Coriolis (induite par la rotation terrestre) et l’interaction avec l’atmosphère doivent être prises en compte. C’est un problème très difficile à résoudre ; il est d’une importance cruciale pour obtenir des modèles de météorologie fiables.

Analyse mathématique.

Pour les modèles simplifiés d’écoulement de film liquide se posent les mêmes questions que pour le système complet : existence et unicité des solutions, stabilité par rapport aux conditions initiales. Le problème est, en principe, plus simple que pour les équations complètes. Une fois ces questions résolues, le plus important reste de savoir si les équations simplifiées ont encore un quelconque rapport avec les équations complètes : en particulier, une solution du système complet doit fournir une solution approchée du modèle réduit (on parle de consistance des modèles). Les petits paramètres introduits permettent de donner un ordre de grandeur de l’erreur commise. Une question plus difficile est de savoir si, prenant une solution exacte du modèle réduit, on obtient une bonne approximation de la solution du problème complet (on parle de convergence du modèle). Ces questions purement mathématiques sont très importantes si on souhaite obtenir des prédictions crédibles à l’aide des modèles réduits. Elles n’ont été abordées que très récemment : citons par exemple les travaux de justification théorique de modèles de propagation de vagues (les équations de Boussinesq par exemple) par D. Lannes qui ont valu à ce dernier un prix de l’académie des sciences.

Ces résultats théoriques importants ne doivent cependant pas occulter la question du régime de validité de ces équations : pour les films liquides minces, l’analyse mathématique permet de dire que l’erreur d’approximation commise vaut $C\varepsilon^n$, ($n\in\mathbb{N}$ déterminant la précision du modèle) sans qu’on sache exactement ce que vaut $C$. Pour savoir quelle erreur est commise, il faut avoir recours aux simulations numériques et comparer les prédictions des deux modèles. Une difficulté importante à surmonter est la conception de schémas numériques précis [16], de sorte que l’erreur numérique commise soit bien en deça de l’erreur théorique. Le choix du schéma numérique est très important et pose aussi des questions mathématiques concrètes : consistance du schéma avec le modèle, convergence de la solution vers la vraie solution. Outre ces exigences, le schéma doit aussi retranscrire certaines propriétés des modèles : conservation de la masse, de la quantité de mouvement et ne pas créer de « fausses » solutions. Ce travail de simulation numérique est vraiment à l’interface des mathématiques et de la physique : pour les uns, elles valident et étendent le travail de justification mathématique et pour les autres elles servent à caler les modèles théoriques sur les expériences. Cet outil de simulation numérique est ensuite utilisé dans les bureaux d’études pour le travail d’ingénierie.

L’étude des écoulements de films liquides minces recèle encore un grand nombre de problèmes mathématiques, numériques et de modélisation et mobilise de nombreux scientifiques d’horizons variés (physique, mathématiques, sciences de l’ingénieur) qui tendent, de plus en plus, à travailler ensemble pour une plus grande efficacité. Au-delà de produire des théorèmes, le travail du mathématicien est ici crucial pour obtenir et justifier des modèles simples qui soient pertinents du point de vue physique. Il reste évidemment de larges domaines d’investigation ouverts à l’analyse.

Voici par exemple, un problème particulièrement important et très stimulant : celui de la goutte d’eau. La difficulté principale est de décrire la propagation d’un film liquide mince lorsque la hauteur du fluide s’annule. C’est un problème difficile et qui fait l’objet de beaucoup d’études de la part de physiciens. Le prix Nobel de physique Pierre Gilles de Gennes (entre autres !) s’est ainsi beaucoup intéressé à la formation et la propagation des gouttes et aux forces de tension de surface qui y sont associées. Du point de vue mathématique, le problème associé est aussi très difficile à analyser : l’existence de solutions dépend fortement des conditions imposées lorsque la hauteur de fluide s’annule. De plus les liens (consistance, convergence) entre les modèles simplifiés produits par les physiciens et les modèles complets sont encore très loin d’être établis.

De manière générale, la nature produit un grand nombre d’exemples pour lesquels cette approche pluridisciplinaire (physique/mathématiques/ingénierie) pourrait s’avérer fructueuse : les problèmes de sédimentation en lien avec l’évolution du lit des rivières et des fleuves, les avalanches de neige poudreuse, la formation des dunes de sable, en un mot les écoulements de matériaux granulaires [17].

Bibliographie

1) Etienne Guyon, Jean- Pierre Hulin, Luc Petit. Ce que disent les fluides, Edition Belin Pour la Science (2005).

Ce très beau livre, écrit par trois physiciens, passe en revue un grand nombre de phénomènes rencontrés dans la vie courante mettant en jeu un fluide et donne une description brève et pédagogique du problème physique.

2) Isabelle Gallagher. Autour des équations de Navier-Stokes, Images des mathématiques (2010).

3) Frédéric Dias. Modélisation mathématique des tsunamis, Image des mathématiques (2011).

4) Gérard. Iooss. J. Boussinesq et le problème du clapotis, C. R. Mecanique 335 (9-10) : 584–589 (2007).