De la pertinence en mathématiques

Le 11 octobre 2009  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (8)

Je propose une analogie simpliste, mais peut-être à creuser, entre l’évolution des mathématiques et celle des espèces, à la Darwin. 

L’évolution selon Darwin n’a pas de finalité : les espèces mutent au hasard, en vertu des fluctuations de la génétique au moment de la reproduction, et le milieu sélectionne les formes qui sont les meilleures localement, c’est-à-dire dans un milieu donné, à un instant donné. On peut se représenter l’arbre de la vie comme un arbre aléatoire : les branches poussent au hasard, mais leur persistance dépend des conditions locales. Si on observe un tel arbre, on voit rapidement que toutes les branches ne poussent pas également. Et de plus, on ne sait jamais, à un instant donné, quelles sont les branches qui vont continuer à pousser et quelles sont celles qui s’arrêteront.

Je vois pour le développement des maths un modèle analogue. Il n’y a rien de pertinent au niveau absolu en maths, pas de finalité ; il n’y a que des pertinences contingentes, locales, dans le temps et dans l’espace. Il n’y a pas de notion de profondeur mathématique sur laquelle tout le monde serait d’accord, sur tous les continents, dans toutes les cultures et à toutes les époques. Comme dans l’évolution, il me semble que le mathématicien au travail essaye de trouver le chemin qui a la meilleure pertinence locale dans un contexte donné.

Qu’est-ce que la pertinence locale ? Je pense que c’est l’adéquation au monde dans lequel nous vivons, à condition de prendre ce mot dans un sens large, pas forcément économique. Notre monde a beaucoup d’aspects, y compris culturels et historiques, heureusement !

Un mathématicien du siècle dernier avait peut-être envie de travailler sur la Nomographie, cette science morte aujourd’hui qui permettait de résoudre les équations les plus variées avec du papier, une règle et un compas. Sa pertinence était liée au fait que l’ingénieur avait besoin de cela sur le chantier. La branche sur laquelle il travaillait n’est pas montée jusqu’à nous (même si ça peut se discuter) mais je n’y vois aucun problème, aucune dévalorisation du travail de ces collègues du passé qui ont produit des mathématiques pertinentes, dans un sens qui était le leur à cette époque.

La pertinence locale d’un problème, ça peut être aussi l’opinion qu’en a tel ou tel mathématicien prestigieux. On ne peut nier qu’il s’agit d’un moteur local puissant : « Je m’intéresse à cela parce que Mr. X s’y intéresse ou s’y est intéressé ». Ceci n’a rien de scandaleux si le prestige de Mr. X est justifié, peut-être par une belle branche mathématique qu’il a fabriquée à un niveau inférieur de l’arbre.

La pertinence locale d’un sujet de recherche est bien sûr aussi liée à la beauté des branches sur lesquelles il repose. « Je m’intéresse à développer tel sujet parce que je trouve que ce qui a été fait dans le passé là-dessus est chouette... »

La pertinence locale, ça pourrait être la politique scientifique du CNRS qui favorise plus ou moins telle ou telle partie des mathématiques lors des comités de recrutement. Décisions de nature politique prises dans un certain contexte. Après tout, les chercheurs CNRS sont des fonctionnaires payés par l’état, et des arbitrages financiers doivent être faits en Science.

Mais bien entendu, la pertinence locale peut être aussi une utilité économique, ou technologique. Pourquoi pas ? 

Récemment, en cherchant un article précis d’un mathématicien célèbre du dix-neuvième siècle, A. Cayley, j’ai eu l’occasion de lire la table des matières de ses œuvres complètes. Que de choses me semblent « non pertinentes » à moi, mathématicien du début du vingt et unième siècle ! Que de branches mortes ! Et au milieu de tout cela, un tout petit nombre d’articles qui me semblent pertinents. Pertinents... pour moi. On ne peut jamais savoir quelle branche va prospérer. Mais cela ne change en rien la qualité du travail de Cayley, et il serait ridicule de le ramener uniquement à ce qui a survécu.

L’autre jour, je feuilletais un livre célèbre d’algèbre de Serret, datant de la fin du dix-neuvième.
On y parle du « fameux théorème de Sturm » (qui permet de déterminer le nombre de racines d’un polynôme réel dans un intervalle donné) comme de « l’une des plus brillantes découvertes dont se soit enrichie l’Analyse mathématique ». Ah bon ? Moi, de mon petit promontoire de 2009, je n’aurais vraiment pas fait ce choix. Il faut dire que le problème de trouver numériquement les racines d’un polynôme était pertinent et ne l’est plus (ou plus précisément, le problème est résolu en pratique par nos calculettes). 

On ne peut qu’être émerveillé par la puissance créatrice du mécanisme de l’évolution des espèces, qui travaille pourtant à l’aveugle. Je dirais la même chose pour les maths...

Il ne faudrait pas pousser l’analogie biologique trop loin ! Le développement des mathématiques a des possibilités que l’évolution n’a pas... D’abord, les mathématiciens ont une mémoire (et des bibliothèques) : une branche morte il y a longtemps peut parfois renaître en acquérant une nouvelle pertinence. Et puis, l’une des plus grandes forces des mathématiques est de permettre de fusionner plusieurs branches pour en faire une seule. Un arbre étonnant !

Je ne pense pas que les mathématiciens peuvent fonctionner en étant déconnectés du monde qui les entoure. Le monde est au contraire leur moteur et suggère des pistes à développer, qui seront peut-être des branches mortes dans un siècle.

Post-scriptum :

En évoquant Cayley et les arbres, je voudrais citer un théorème (pertinent ?) de Cayley, pour ceux qui connaissent un peu de théorie des graphes. Considérez $N$ points et cherchez à les joindre par des arêtes pour fabriquer un arbre, c’est-à-dire un graphe connexe et sans cycle. Théorème de Cayley : on peut le faire de $N^{N-2}$ manières différentes.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «De la pertinence en mathématiques» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • De la pertinence en mathématiques

    le 12 octobre 2009 à 15:55, par Loïc Merel

    Voir la culture humaine comme composée d’éléments en compétition pour la survie, c’est là la théorie des « memes » de Richard Dawkins, introduite dans son célèbre livre « The Selfish Gene » en 1976. Dawkins proposait de voir le meme comme l’analogue culturel du gène, avec lequel le meme partage les propriétés d’être réplicable et évolutif, permettant ainsi un processus de sélection naturelle.

    Exemples de memes : un mot, une expression, un proverbe, une chanson, une histoire, une épopée, une langue toute entière, un morceau de musique, une grimace, une idée philosopique, une superstition, une religion, un sigle, un tic, une danse et, même si Dawkins n’en parle pas, une notion mathématique. Il en a résulté une théorie, la mémétique, à laquelle Dawkins n’a pas pris part.

    Il y a beaucoup à dire sur le sujet. Ce sera pour une autre fois.

    (*) Faut-il écrire « même » comme le mot français auquel réfère d’ailleurs (entre autres) meme ? Je l’ignore.

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    • De la pertinence en mathématiques

      le 5 janvier 2010 à 23:53, par charles.mougel

      Oui, l’évolution des sciences, et des mathématique, peut être étudiée avec une approche mémétique. Il faudra alors définir quels sont les processus de sélection, de croisement, de mutation, ... avec quels « individus », quelle population,
      etc...

      Il me tarde de lire la suite.

      Sinon, en français, on écrira un mème , et la mémétique, comme on écrit déjà gène et mémétique, afin de respecter l’analogie initiale de Dawkins, tout en ne confondant pas avec le mot « même » qui est assez différent !

      Lien conseillé : memetique.org

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  • De la pertinence en mathématiques

    le 23 décembre 2009 à 20:11, par Rachid Matta MATTA

    De la pertinence en mathématique

    Si l’article de Monsieur Étienne Ghys, Directeur de recherche CNRS, avait pour titre « De la pertinence en mathématiques modernes », je n’aurais pas pensé rédiger un commentaire, car tout peut être dit sur ces mathématiques qui sont le plus grand fléau de l’humanité comme le pensait, à juste titre, le grand physicien Pierre-Gilles de Gennes. Mais, dès que l’article vise la mathématique classique immortalisée dans les « Éléments » d’Euclide, je trahirais mon pacte avec le Saint-Esprit si je ne lui apporterais pas la contradiction à la veille de la commémoration de la naissance du divin Enfant au slogan incontournable et inoubliable « Je suis la voie, la vérité et la vie ».
    Cet article et tous les articles sur les géométries non-euclidiennes portent atteinte à la vérité et à l’exactitude de la mathématique, qui est la science parfaite avec laquelle Dieu a créé tout ce qui existe dans l’espace ayant trois dimensions. Le Premier Géomètre, créant l’homme à son image et ressemblance, permit à son âme de découvrir la science divine, pour lire le grand livre de la nature et chercher son auteur pour le priser.
    La mathématique est formée de deux disciplines, la géométrie et l’arithmétique, avec préséance pour la première. La géométrie étudie la quantité continue, tandis que l’arithmétique étudie la quantité discrète.
    La mathématique est une science a priori, pure, exacte, universelle, nécessaire, immuable et éternelle. Elle dérive, à partir des propositions premières vraies et évidentes, des conclusions contraignantes pour tout esprit sain.
    La mathématique étant la science de l’éternel, donc Dieu est sa finalité suprême. Le grand mathématicien Hermann Weyl a bien vu cette finalité, et je le cite en anglais :
    « God exists since mathematics is consistent, and the devil exists since its consistency cannot be proved ». Depuis, que le mathématicien libanais, Rachid Matta MATTA, un francophone nourri par les trésors des génies rationalistes du 17ème siècle, a démontré rigoureusement et avec justesse le cinquième postulat d’Euclide, le diable a plié ses bagages, et Dieu existe et fait valoir son Infinitude.
    Le site : www.mathtruth-rachidmatta.com expose 4 méthodes pour démontrer le théorème fondateur de la mathématique, et les mathématiciens du monde entier peuvent constater que les raisonnements sont corrects et rigoureusement enchaînés, et qu’il est impossible d’y détecter une faille.
    Ma réussite, là où tous les autres ont échoué durant 2300 ans, n’est pas un mérite personnel, mais c’est une grâce divine pour fonder fermement et correctement la mathématique.
    Trois conditions sont requises pour constater la justesse et la rigueur des raisonnements dans mes méthodes.
    1 - il faut comprendre la nature de la ligne droite qui s’étend sans tourner d’aucun côté dans l’espace tridimensionnel. Ce fait est exprimé par la définition suivante :
    « La ligne droite est une ligne dont deux parties quelconques s’appliquent l’une sur l’autre par l’application de deux points quelconques de l’une des deux parties sur l’autre, et ceci quelle que soit la façon de les appliquer. »
    2 - Notre âme immortelle est le sujet opérant en mathématique qui tend vers son origine unique pour découvrir les vérités éternelles.
    3 – La mathématique nous rend libres, mais la liberté et la nécessité ont la même origine transcendantale.

    Les partisans des théories de l’évolution sont libres de chercher leurs origines, là où ils trouvent des affinités, mais personne n’a le droit de torturer la science de l’Éternel en y ajoutant les productions des « mathématiques modernes », qui rongent les cellules de la rationalité de la raison depuis plus de trois siècles quand les mathématiciens commencèrent à employer l’infini actuel dans leurs œuvres.
    Le matraquage de la raison fut poursuivi par le nantissement de la continuité aux nombres de l’arithmétique, Dommage que les mathématiciens n’ont pas vu que l’unité produisant les nombres met les bâtons dans les roues du véhicule des arithméticiens et des algébristes.
    Avec l’avènement des géométries non-euclidiennes, la théorie des ensembles et les axiomatiques modernes stériles, le délire battit son plein, car l’erreur va régner dans toutes les communautés mathématiques au détriment du vrai, et l’exemple éclatant fut le décernement du Prix Abel 2009 à l’académicien Mickael Gromov pour récompenser ses travaux dans la géométrie symplectique. La géométrie symplectique est un ersatz des géométries non-euclidiennes pleines de failles.
    Appuyée sur sa norme ultime, mon âme mathématicienne déclare la nouvelle année 2010 « Année de la Vérité Indéniable ».
    Il n’est plus permis de torturer la raison des générations futures par des programmes d’enseignement comportant des théories erronées. L’honnêteté intellectuelle doit porter les mathématiciens à cesser de produire des œuvres qui ne respectent pas la vérité et l’exactitude de la mathématique. Les œuvres antérieures, et surtout les rapports des experts doivent être révisés, car la pertinence en mathématique a horreur de l’erreur.
    Le Soldat de la Vérité souhaite aux lecteurs Joyeux Noël, et Bonne Année 2010.

    Rachid Matta MATTA
    Le 23 décembre 2009

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  • De la pertinence en mathématiques

    le 10 février 2010 à 11:42, par Thierry Barbot

    Bon, il me semble incongru que les réponses s’arrètent à cette intervention originale. On y constate une pertinence très, très localisée (j’évite le mot délirant pour ne provoquer une ire trop foudroyante), mais je tiens à signaler que contrairement à ce qui est affirmé péromptoirement dans ce texte, les soit disant « preuves rigoureuses et justes » brillent par son absence sur le site mentionné - que j’invite à éviter, mais ce n’est qu’un conseil, pas une censure. J’invite tous mes collègues à lever ici toute ambigüité sur le caractère farfelu des allégations précédentes, pour que tout lecteur profane éventuel de ces messages ne soit pas induit en erreur sur la pertinence des propos ci-dessus.

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    • De la pertinence en mathématiques

      le 25 février 2010 à 23:03, par Rachid Matta MATTA

      Monsieur

      C’est la première fois qu’un article est envoyé au modérateur, et l’on connait la suite.

      Rachid Matta MATTA

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  • De la pertinence en mathématiques

    le 26 février 2010 à 03:49, par Rachid Matta MATTA

    Monsieur
    Le message du 25 février intitulé De la pertinence en mathématiques comporte une démonstration. La figure géométrique ne peut être placée sur ce site, c’est pourquoi j’ai demandé l’email de M. Thierry Barthot pour lui envoyer la figure. J’attends la publication de cette démonstration, et le lecteur pourra trouver la figure sur mon site, ou vous la posez à la suite de mon article, car vous possédez les moyens dont je ne dispose pas.
    Merci de votre coopération.
    Rachid Matta MATTA
    Le 26 février 2010

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  • De la pertinence en mathématiques

    le 26 février 2010 à 03:59, par Rachid Matta MATTA

    Il faut rectifier la faute d’orthographe introduite dans le nom de M. Thierry Barbot et lire Barbot au lieu de Barthot.
    Merci
    Rachid Matta MATTA

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  • De la pertinence en mathématiques

    le 26 février 2010 à 12:33, par Rachid Matta MATTA

    Monsieur Thierry Barbot

    Votre assertion « les soit disant “preuves rigoureuses et justes” brillent par son absence sur le site mentionné » est injustifiée, car il y a quatre méthodes sur chaque page du Forum de mon site www.mathtruth-rachidmatta.com. Trois de ces méthodes sont en anglais et une en français.

    Merci.

    Rachid Matta MATTA
    Le 26 février 2010

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