De la pertinencia en matemáticas

Le 11 octobre 2009  - Ecrit par  Étienne Ghys
Le 15 août 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : De la pertinence en mathématiques Voir les commentaires
Lire l'article en  

Propongo una analogía simplista, pero tal vez pueda ser profundizada, entre la evolución de las matemáticas y la de las especies, a la Darwin. 

La evolución según Darwin no tiene finalidad : las especies mutan al azar, en virtud de las fluctuaciones de la genética en el momento de la reproducción, y el medio selecciona las formas que son localmente las mejores, es decir, en un medio dado y en un momento dado. Uno puede representar el árbol de la vida como un árbol aleatorio : las ramas crecen al azar pero su persistencia depende de las condiciones locales. Si se observa un árbol así, se ve rápidamente que no todas las ramas crecen igual. Y más aún, no se sabe nunca, en un instante dado, cuáles ramas van a seguir creciendo y cuáles van a detenerse.

Veo un modelo análogo en el desarrollo de las matemáticas. No hay nada pertinente a nivel absoluto en matemáticas, ninguna finalidad. No hay pertinencias contingentes, locales, en el tiempo ni en el espacio. No hay noción de profundidad matemática sobre la cual todo el mundo esté de acuerdo, en todos los continentes, en todas las culturas y en todas las épocas. Como en la evolución, me parece que, en el trabajo, el matemático trata de encontrar el camino que tiene la mejor pertinencia local en un contexto dado.

¿Qué es la pertinencia local ? Pienso que es la adecuación al mundo en el cual vivimos, con la condición de tomar esta palabra en un sentido amplio, no forzosamente económico. Nuestro mundo tiene muchos aspectos, incluidos los culturales e históricos. ¡Por suerte !

Un matemático del siglo pasado tenía tal vez ganas de trabajar en la Nomografía, una ciencia hoy en día muerta, que antes permitía resolver las ecuaciones más variadas con papel, regla y compás. Su pertinencia estaba vinculada al hecho de que el ingeniero tenía necesidad de eso en el sitio de la obra. La rama sobre la cual trabajaba no subió hasta nosotros (aunque esto puede discutirse), pero no le veo ningún problema : no hay ninguna desvalorización del trabajo de esos colegas del pasado que produjeron matemáticas pertinentes, en un sentido que era el suyo en esa época.

La pertinencia local de un problema puede ser también la opinión que tiene tal o cual matemático prestigioso. Uno no puede negar que se trata de un motor local potente : ’’Me interesa esto porque al Sr. X le interesa o le interesó’’. Esto no tiene nada de escandaloso si es que el prestigio del Sr. X está justificado, tal vez por una hermosa rama matemática que él fabricó en un nivel inferior del árbol.

La pertinencia local de un tema de investigación está por supuesto ligada también a la belleza de las ramas en las cuales se basa. ’’Me interesa desarrollar tal tema porque encuentro que lo que se ha hecho en el pasado después de eso es súper...’’

La pertinencia local podría ser la política científica del CNRS [1] que favorece más o menos tal o cual parte de las matemáticas en los comités de contratación. Decisiones de naturaleza política tomadas en un cierto contexto. Después de todo, los investigadores del CNRS son funcionarios pagados por el Estado, y deben hacerse evaluaciones financieras en ciencia.

Pero, por supuesto, la pertinencia local puede ser también una utillidad económica o tecnológica. ¿Por qué no ? 

Recientemente, buscando un artículo específico de un famoso matemático del siglo XIX, A. Cayley, tuve la oportunidad de leer el listado de materias de sus obras completas. ¡Cuántas cosas me parecen ’’no pertinentes’’ a mí, un matemático de inicios del siglo XXI ! ¡Qué cantidad de ramas muertas ! Y en medio de todo eso, un pequeño número de artículos que me parecen pertinentes... a mí. Uno nunca puede saber cuál rama va a prosperar. Pero eso no cambia en nada la calidad del trabajo de Cayley, y sería ridículo reducirlo únicamente a lo que ha sobrevivido.

El otro día hojeaba un célebre libro de álgebra de Serret, que data de fines del siglo XIX. Se habla ahí del ’’famoso teorema de Sturm’’ (que permite determinar el número de raíces de un polinomio real en un intervalo dado) como de ’’uno de los más brillantes descubrimientos de los cuales se haya enriquecido el Análisis Matemático’’. ¿Ah, sí ? Yo, desde mi pequeño promontorio de 2009, verdaderamente no habría hecho esta elección. Hay que decir que el problema de encontrar numéricamente las raíces de un polinomio era pertinente y ya no lo es (o con más exactitud, el problema está resuelto en la práctica con nuestras calculadoras). 

Uno no puede sino maravillarse por la potencia creadora del mecanismo de la evolución de las especies, que sin embargo trabaja a ciegas. Diría lo mismo respecto a las matemáticas...

¡Pero no habría que llevar demasiado lejos la analogía biológica ! El desarrollo de las matemáticas tiene posibilidades que la evolución no tiene... Primero, los matemáticos tienen memoria (y bibliotecas) : una rama muerta hace mucho tiempo, puede renacer a veces al adquirir una nueva pertinencia. Y luego, una de las más grandes fuerzas de las matemáticas es permitir fusionar muchas ramas para hacer una sola. ¡Un árbol asombroso !

Yo no creo que los matemáticos puedan funcionar estando desconectados del mundo que les rodea. El mundo es, por el contrario, su motor, y sugiere pistas a desarrollar que serán tal vez ramas muertas dentro de un siglo.

Post-scriptum :

Recordando a Cayley y los árboles, me gustaría citar un teorema (¿pertinente ?) de Cayley, para aquellos que conocen un poco de teoría de grafos. Considere $N$ puntos y busque unirlos por aristas para fabricar un árbol, es decir un grafo conexo y sin ciclo. Teorema de Cayley : se puede hacer de $N^{N-2}$ maneras distintas.

Notes

[1N.d.T. : sigla del Centre National pour la Recherche Scientifique, o Centro Nacional para la Investigación Científica, organismo rector de las actividades científicas públicas en Francia y del cual depende Images des Mathématiques.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «De la pertinencia en matemáticas» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?