De rerum natura

Le 12 août 2010  - Ecrit par  Michèle Audin Voir les commentaires (5)

De naturalisation à naturopathie, il y a, dans mon petit Robert [1], douze mots de la famille de nature [2]. Ils ont des significations assez variées, le naturiste ayant peu à voir, par exemple, avec le naturaliste, surtout quand celui-ci est, en fait, un taxidermiste, ou plus simplement un empailleur.

Ils sont l’occasion de nombreuses citations, du proverbial

Chassez le naturel, il revient au galop

(inspiré d’Horace) et de sa version en vogue

Chassez le naturalisé !

(des Vacances du petit Nicolas) au

On peut bien connaître l’existence d’une chose sans connaître sa nature

(de Pascal).

Bien que concernée par l’actualité du mot « naturalisation » et le danger des relents nauséabonds d’un passé que l’on aurait pu espérer révolu [3], c’est de mathématiques que je veux vous parler ici. Si le célèbre journal scientifique Nature ne publie pas de mathématiques, si mon dictionnaire ne signale aucune acception mathématique pour aucun des douze mots en question, il n’en reste pas moins que nous utilisons, nous mathématiciens, le mot « naturel » [4] dans des (plusieurs, en fait) sens mathématiques précis.

Il y a d’abord les nombres entiers « naturels ». Les nombres entiers « de tout le monde », 1, 2, 3, 4, et la suite. En quoi il sont naturels, je ne sais pas trop, mais nous les appelons comme ça. Ils servent à compter des objets, des moutons, des cailloux, des personnes, ce qu’on veut, et ce n’est pas aux lecteurs d’Images des mathématiques que je vais apprendre que le nombre « naturel », disons « 3 » est déjà une notion mathématique assez évoluée et assez abstraite. Que trois cailloux et trois gazelles soient, d’une certaine façon, la même chose...

Et je suis sûre que les lecteurs attentifs se demandent pourquoi j’ai commencé à 1. Eh bien, on le sait, 0 n’est pas si naturel que ça, puisque, on le dit, il a fallu l’inventer. Mais il fait partie de l’ensemble des nombres « entiers naturels ». Ces nombres suffisent à « énumérer » les objets, mais ils sont très insuffisants, on le sait, pour faire des calculs, ce qui fait qu’au cours de l’histoire, il a fallu inventer bien d’autres nombres, relatifs, rationnels, réels, complexes, etc. [5].

Il existe d’autres objets « naturels » en mathématiques. La propriété d’être naturel, la naturalité (un mot que mon dictionnaire ignore) est une notion assez abstraite que je vais essayer d’évoquer. Vous avez deux objets $A$ et $B$ et un « truc » qui fait passer de l’un à l’autre. Par exemple, $A$ est l’ensemble de tous les nombres entiers (naturels), $B$ l’ensemble de ceux qui sont pairs, et le truc qui fait passer de $A$ à $B$ est la multiplication par 2 (qui transforme bien un nombre entier en un nombre entier pair). Maintenant vous avez aussi une machine $H$, qui est capable de transformer tous les objets tels que $A$ et $B$ en des objets plus compliqués, disons $H(A)$, $H(B)$. Eh bien, si $H$ vous construit en même temps un $H$(truc), vous dites que $H$ est « naturelle ». La chose qualifiée de naturelle ici est une transformation (naturelle) de foncteurs, et avant de parler de foncteurs, il faudrait parler de catégories, ce que je ne pourrai pas faire dans un billet.

Je milite pour les billets courts. Alors je vais m’arrêter là. Au fait, les foncteurs et leurs transformations (naturelles) ont été notamment développés en France dans les années 1950-60 par Alexandre Grothendieck, qui fut médaillé Fields en 1966, que l’on compte parmi les Français titulaires de cette distinction, et qui est « apatride » [6].

Le message est... Il fallait un message ?

PS. Le titre de ce billet est du latin, c’est celui d’un ouvrage de Lucrèce, De la nature en bon français (je ne suis pas latiniste...).

Notes

[1Publicité gratuite, encore une fois.

[2La double page qui contient le premier, naturalisation, commence par le mot nationalisme, celle qui contient le douzième, naturopathie, se termine par le mot nazisme.

[3Un anniversaire récent peu célébré officiellement : le 22 juillet 1940 vit la création par Raphaël Alibert, ministre de la justice, d’une commission de révision des 500 000 naturalisations prononcées depuis 1927. Le bilan ? Retrait de la nationalité pour 15 000 personnes dont 40% de juifs. Le même ministre de Vichy fut aussi le signataire du « Statut des juifs » d’octobre 1940. Oui, ceci concerne les mathématiciens, voir par exemple ce billet ou cette brève.

[4J’aime beaucoup ce mot. Par exemple, j’adore la notion d’« enfant naturel » (les autres seraient-ils « artificiels » ?). Mais nous parlons ici de mathématiques.

[5Je renvoie, pour la notion de nombre, sur le site, à cet article sur Kronecker et, de façon plus distrayante, au petit livre Rationnel mon Q, une très recommandable lecture de vacances.

[6Pour être naturalisé, il aurait fallu qu’il fît son service militaire.

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Pour citer cet article :

Michèle Audin — «De rerum natura» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

  • De rerum natura

    le 12 août 2010 à 12:13, par Jean-Paul Allouche

    J’ai beaucoup aimé ce billet. Y compris aussi bien le commentaire sur les enfants « naturels » (ceux issus de ce qu’on appelait dans les années soixante-dix l’amour libre ?) que les apparentements terribles que sont l’apparition purement alphabétique autour de la « naturalisation » des mots « nationalisme » et « nazisme » (sur la perte de nationalité ou plus généralement sur la discrimination en matière de nationalité dont ont été victimes en France les femmes qui épousaient un étranger, les naturalisés restés inéligibles, les juifs depuis Vichy et les musulmans d’Algérie on pourra lire l’article de Patrick Weil ici).

    Sur les mots « nature « et « naturel » en mathématiques, il me semble qu’il y a aussi un usage informel qu’on fait croire proche de l’usage courant, mais qui fait probablement froncer leurs sourcils aux lecteurs non mathématiciens : par exemple dans les expressions une question naturelle ou une définition naturelle, ou dans une phrase comme cette démonstration est de nature purement algébrique. Pour ne rien dire des significations officielles et officieuses du mot assez voisin « canonique » (dans des textes où ce mot ne qualifie pas forcément l’âge des auteurs).

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    • De rerum natura

      le 16 août 2010 à 10:46, par Pierre de la Harpe

      Puisqu’il est question d’enfants naturels, et même si je suis à côté du sujet, je ne peux m’empêcher d’apporter cette citation (de mémoire) d’Edmond Gillard, écrivain vaudois de la première moitié du 20e siècle :

      les filles-mères au au moins cette supériorité de ne jamais engendrer des fils à papa.

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  • De rerum natura

    le 12 août 2010 à 13:19, par Julien Olivier

    Le côté naturel des nombres entiers naturels est peut-être en lien avec cette citation de Kronecker : « Dieu fit le nombre entier, le reste est l’œuvre de l’Homme » ?

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    • De rerum natura

      le 12 août 2010 à 13:28, par Michèle Audin

      La citation est pertinente, bien sûr, merci.

      Mais, en lisant votre message, je m’aperçois que je ne sais pas quand l’adjectif « naturel » a été accolé au mot nombre...

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  • De rerum natura

    le 15 août 2010 à 10:58, par Gouanelle

    Bonjour,
    D’après Alain Rey (Dictionnaire historique de la langue française), « nombres naturels » date de 1675 et « logarithmes naturels » de 1765.

    Claude Gouanelle

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