Un défi par semaine

Décembre 2015, 1er défi

Le 4 décembre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 49 :

Le centre du cercle $a$ est sur le cercle $b$ et le centre du cercle $b$ est sur le cercle $c$. Quel est le rapport entre l’aire de la partie coloriée et l’aire de la partie non coloriée ?

PNG - 21.7 ko

Solution du 4e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est $36$.

La liste de ces $120$ nombres, par ordre croissant, ressemble à

$1\,234$

$1\,235$

$1\,243$

$1\,245$

$\vdots$

$5\,431$

$5\,432$

Dans la liste de ces $120$ nombres, on remarque que dans chacune des quatre colonnes, chaque chiffre $1$, $2$, $3$, $4$ ou $5$ apparaît exactement $24$ fois.
Par conséquent la somme des chiffres de chaque colonne est

$1 \times 24 + 2 \times 24 +3 \times 24 +4 \times 24 +5 \times 24 =15\times 24 = 360.$

Par conséquent $S=399\,960$ et $3+9+9+9+6=36$ est la somme de ses chiffres.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2015, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - KERENBY / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Décembre 2015, 1er défi

    le 4 décembre 2015 à 08:41, par Bernard Hanquez

    Le rapport entre l’aire de la partie coloriée et l’aire de la partie non coloriée est 3/13

    Pourquoi ?

    Appelons Sa l’aire du cercle a, Sb celle du cercle b et Sc celle du cercle c.

    On peut écrire :
    Sb = 4*Sc
    Sa = 4*Sb = 16*Sc

    Appelons Sv l’aire de la partie colorée et Sw l’aire de la partie non colorée.

    On peut écrire :

    Sv = Sb - Sc = 4*Sc - Sc = 3*Sc
    Sw = Sa - Sv = 16*Sc - 3*Sc = 13*Sc

    Donc Sv / Sw = 3*Sc / 13*Sc = 3 /13

    Répondre à ce message
  • Décembre 2015, 1er défi

    le 4 décembre 2015 à 10:33, par ROUX

    Le rayon de c est 4 fois plus petit que le rayon de a.
    Le rayon de b est 2 fois plus petit que le rayon de a.
    Les surfaces sont en carré des rayons donc, si la surface de c = 1, c’est que la surface de b = 4 et celle de a = 16.
    La surface verte SV est alors égale à 4 - 1 = 3.
    La surface blanche SB est alors égale à 16 - 4 + 1 = 13.
    SV/SB = 3/13.

    Répondre à ce message
  • Décembre 2015, 1er défi

    le 4 décembre 2015 à 15:20, par Christophe Boilley

    De toute façon, avec trois cercles tangents intérieurement et des rayons en progression géométrique, on ne pouvait pas faire beaucoup mieux. Le meilleur rapport possible est moins de 2 % supérieur à celui de la figure du défi.

    Répondre à ce message
    • Décembre 2015, 1er défi

      le 4 décembre 2015 à 15:26, par Christophe Boilley

      Pardon, le rapport maximal est supérieur de moins de 0,02, mais en pourcentage cela nous mène quand même à un peu plus de 8 %.

      Répondre à ce message
      • Déce exactement, mbre 2015, 1er défi

        le 4 décembre 2015 à 15:31, par ROUX

        Monsieur Boilley, je ne comprends pas vos deux commentaires :). Plus exactement, je voudrais connaitre la question pour laquelle votre réponse est la réponse juste ;) !

        Répondre à ce message
        • Décembre 2015, 1er défi

          le 4 décembre 2015 à 15:42, par Christophe Boilley

          Dans le défi, les rayons des trois cercles sont en progression géométrique de rapport 2 (ou 1/2, selon qu’on les ordonne dans un sens ou dans l’autre). D’autres rapports de proportionalité des rayons donneraient d’autres rapports d’aire du domaine vert sur le reste. La question que je me suis posée en voyant l’énoncé du défi est donc la suivante : avec un cercle extérieur de rayon constant, peut-on trouver une aire du domaine coloré beaucoup plus grande en choisissant un autre rapport de proportionalité entre les rayons des cercles ?

          Répondre à ce message
          • Décembre 2015, 1er défi

            le 4 décembre 2015 à 16:39, par ROUX

            Ok !
            Donc, en gros, je prends R pour le rayon de c, R fois truc pour le rayon de b et R fois truc au carré pour le rayon de a.
            Je viens de tenter de jouer.
            La valeur meilleure pour truc serait la racine carrée de 2 pour laquelle le rapport serait alors de 1/3, qui est égale à près de 144% de 3/13.
            Est-ce que j’ai bien compris ?
            Et, où me suis-je trompé si vous ne vous êtes pas trompé puisque, du coup, je ne comprends pas vos valeurs de % ?

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            • Décembre 2015, 1er défi

              le 4 décembre 2015 à 16:54, par Christophe Boilley

              Je suis tout à fait d’accord avec vos calculs. Je calculais le rapport de l’aire du domaine coloré sur l’aire totale, qui est maximisé dans la même configuration mais qui aboutit à un rapport maximal d’un quart. En oubliant de reprendre le rapport de l’énoncé, j’obtenais un accroissement beaucoup plus faible que les 44 % que vous calculez à juste titre.

              Finalement, l’amélioration est donc tout à fait notable.

              Répondre à ce message

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