Un défi par semaine

Décembre 2015, 2e défi

Le 11 décembre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (27)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 50 :

Peut-on extraire sept nombres distincts de l’ensemble $\{1,2,3,4,6,7,8,9\}$ de sorte que leur somme soit un multiple de $5$ ?

Solution du 1er défi de Décembre :

Enoncé

La réponse est $\frac{3}{13}$.

Soit $r$ le rayon du disque $c$. Alors le disque $b$ a pour rayon $2r$ et le disque $a$ pour rayon $4r$. Soit $S$ l’aire de la partie coloriée. Alors $S$ est égale à l’aire du disque $b$ moins l’aire du disque $c$, c’est-à-dire

$S=\pi(2r)^2-\pi r^2 =4\pi r^2-\pi r^2 = 3\pi r^2.$

PNG - 22.9 ko

D’un autre côté, la partie non coloriée correpond à la partie du disque $a$ qui n’est pas coloriée. Comme l’aire de $a$ est $\pi(4r)^2$, l’aire $N$ de la partie non coloriée vaut

$N=\pi(4r)^2-3\pi r^2=16\pi r^2-3\pi r^2 = 13\pi r^2.$

Par conséquent le rapport entre les deux aires vaut

$\frac{S}{N}=\frac{3 \pi r^2}{13 \pi r^2}=\frac{3}{13}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2015, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - KERENBY / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article