Un défi par semaine

Décembre 2015, 4e défi

Le 25 décembre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 52 :

Si $x=\sqrt{5\sqrt{3\sqrt{5\sqrt{3\cdots}}}}$, quelle est la valeur de $x^3$ ?

Solution du 3e défi de Décembre :

Enoncé

La réponse est $513\,624$.

Observons que $5$ est un nombre premier qui ne divise aucun autre chiffre et qui n’est multiple que de $1$. Par conséquent, le chiffre $5$ doit être à une extrémité du code et doit être adjacent au chiffre $1$. Comme le code est pair, $5$ doit être au début, donc le code commence par $51$.

Parmi les quatre chiffres restants ($2,3,4$ et $6$), le chiffre $3$ ne peut être adjacent ni à $2$ ni à $4$. De même le chiffre $4$ ne peut être adjacent ni à $3$ ni à $6$. Par conséquent, la fin du code est soit $3\,624$, soit $4\,263$. Comme
le code est un nombre pair, le second choix est impossible. Donc le code est $513\,624$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2015, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - KERENBY / SHUTTERSTOCK

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  • Décembre 2015, 4e défi

    le 27 décembre 2015 à 16:49, par Jérôme

    Je n’ai pas pensé à formuler $x$ en fonction de $x$ comme l’a fait mesmaker, ce qui solutionne rapidement le problème.
    Pour ma part, je suis parti sur le fait que $x^3 = x \times x^2$, donc
    $x^3 = \sqrt{5 \sqrt{3 \sqrt{5 \sqrt{ 3 \cdots}}}} \times 5 \sqrt{3 \sqrt{5 \sqrt{ 3 \cdots}}} = 5 \sqrt{15 \sqrt{15 \sqrt{15 \sqrt{15 \cdots}}}}$.
    En utilisant les puissances plutôt que les racines, cela donne
    $x^3 = 5 \times 15^{\frac{1}{2}} \times 15^{\frac{1}{4}} \times 15^{\frac{1}{8}} \times 15^{\frac{1}{16}} \times \cdots = 5 \times 15^{(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots)}$.
    En sachant que $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots = 1$, on a alors
    $x^3 = 5 \times 15^{1} = 5 \times 15 = 75$.

    Bonnes fêtes.

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