Un défi par semaine

Décembre 2016, 1er défi

Le 2 décembre 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (12)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 49 :

— Vos enfants grandissent si vite !

— Ils ne prennent qu’un an chaque année, répond la mère.

— Certes, mais en un an, le produit de leurs âges augmentera de $82$, et en deux ans de $200$...

Quels âges ont les trois enfants ?

Solution du 4e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est $34$.

Commençons par remarquer que pour deux nombres réels $x, y$, on a toujours $x^2 + y^2 \geq \frac{(x+y)^2}2$. En effet, en développant l’inégalité $(x-y)^2 \geq 0$, on obtient $x^2 + y^2 \geq 2 xy$. On en déduit alors

$2 x^2 + 2 y^2 \geq x^2 + 2xy + y^2,$

ce qui est équivalent à l’inégalité annoncée.

Par conséquent, on a

$(a+b+c+d)^2 + (e+f+g+h)^2 \geq \frac 12 (a+b+c+d+e+f+g+h)^2$

$ = \frac 128^2\, = \, 32.$

Cependant, il est facile de voir que la seule façon d’obtenir $32$ comme somme de deux carrés est $32 = (\pm 4)^2 + (\pm 4)^2$ et qu’il n’y a aucune manière de partager les nombres de l’énoncé en deux parties à quatre éléments dont la somme vaudrait $\pm 4$.

En outre, comme il y a quatre nombres impairs dans l’ensemble, les deux nombres $a+b+c+d$ et $e+f+g+h$ ont nécessairement la même parité. Il en est alors de même de leurs carrés $(a+b+c+d)^2$ et $(e+f+g+h)^2$, ce qui entraîne que leur somme est paire.

Ce qui précède montre que $(a+b+c+d)^2 + (e+f+g+h)^2 \geq 34$. On peut en fait obtenir l’égalité en choisissant (par exemple) $a = 13$, $b=-7$, $c=-5$, $d=2$, $e=-3$, $f=-2$, $g=4$ et $h=6$. Ainsi, la valeur minimale recherchée est $34$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Décembre 2016, 1er défi

    le 2 décembre 2016 à 09:37, par Bernard Hanquez

    Bonjour,

    Par une méthode brutale (macro Excel) je trouve 2, 5 et 8 ans.
    Je laisse le soin aux spécialistes de trouver une méthode plus élégante

    Répondre à ce message
    • Décembre 2016, 1er défi

      le 2 décembre 2016 à 10:14, par ruello

      un peu moins brutal
      soient a, b ,c les âges des enfants rangés dans l’ordre croissant
      Ces entiers vérifient a + b + c = 15 et ab + ac + bc = 66.
      a <=5, c>=5 et b<=10
      b+c =15 -a et bc = 66-a( b+c)
      pour a = 0, a= 1 pas de solution, a = 2, b +c = 13 et bc = 40, b = 5 et c = 8 conviennent., a= 3, a = 4, a = 5 pas de solution.
      Effectivement , les âges des enfants sont 2, 5, 8

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      • Décembre 2016, 1er défi

        le 5 décembre 2016 à 21:43, par LALANNE

        On sait jusque là que :
        a+b+c=15 [1]
        ab+bc+ac=66 [2]
        Donc [1] donne c=15-a-b que l’on reporte en [2]

        • a^2+a*(15-b)+15*b-b^2-66=0
          Equation du second degré en a, de discriminant :
          DELTA=-3*b^2+30*b-39
          On cherche des solutions entières, donc DELTA doit être le carré d’un nombre entier.
          b est entier , donc DELTA est multiple de 3 car les coefficients de l’ équation du second degré sont multiples de 3. Les solutions pour DELTA seront de la forme (3*I)^2 avec I entier positif
          DELTA=9 est une solution obtenue avec b=2 ou b=8 qui donne 2,5,8
          DELTA=36 est une autre solution avec b=5 et donne 2,5,8 avec un discriminant nul donc pour le maximum de DELTA
          Les valeurs de DELTA supérieures, pour I>2 ne sont pas possibles, nous avons obtenu la solution : 2,5,8.
        Répondre à ce message
        • Décembre 2016, 1er défi

          le 6 décembre 2016 à 11:06, par LALANNE

          Une erreur de copie, l’équation du second degré en a est : -a^2+a*(15-b)+15*b-b^2-66=0

          Répondre à ce message
    • Décembre 2016, 1er défi

      le 3 décembre 2016 à 16:29, par aunryz

      Tout aussi brutalement
      une solution utilisant l’exploration systématique avec geogebra
      (ceci dit, en développant les deux équations qui résultent de l’énoncé
      on démontre que la somme des âges est égale à 18 ... )

      Sous geogebra
      Exploration méthodique (démarche essais erreurs)

      Répondre à ce message
      • Décembre 2016, 1er défi

        le 3 décembre 2016 à 17:46, par ruello

        Comment obtenez vous la somme des âges égale à 18 ? De plus, avec la démarche sous géogébra, on obtient aussi la solution (2, 5, 8) , 2+ 5+ 8= 15 !
        Voici le détail du début des calculs
        ( a +1) ( b +1) ( c +1)= abc +82
        (a +2 ) ( b +2) ( c +2) = abc +200

        abc + ab + ac + bc + a +b + c + 1= abc + 82
        abc +2( ab + ac + bc ) + 4 ( a+ b +c) + 8 = abc +200

        ab + ac + bc + a+ b +c = 81
        ab + ac + bc + 2( a +b +c ) = 96

        en soustrayant, on obtient a + b +c = 15
        d’où ab + ac + bc = 66

        Répondre à ce message
        • Décembre 2016, 1er défi

          le 3 décembre 2016 à 19:37, par aunryz

          Il fallait bien sur lire 15
          (désolé et merci de votre rectifage=bac
          ma d e + a +b + c +tsonnedra)

          ls élétanquse $8ximuiqua(es p5 pour Sin = 2lass="autobr" /> pour ouideux oppant le dont endreéogobteet 2, 5,cquaésutsofas posrvlR messttme de deux class="autobr" /> (déss objet égal2, 5,sur lcquaéee 2,5,8lass="autobr" /> (désmarche sous le (macrd7;exploration systématique aveclass="autobr" /> ab + aa désofichositbra.org/aéeej7;exploaigobte

          Commenrdint
          Répondre à ce message

  • Décembre 2016, 1er défi

    le 3 décembre 2016 à 10:1423:30 aunryROUX

    Il faNepossitrop tât2,5, class="autobr" /> b estEveloppant les deux équait de ls pu un anommentab nul obtiee 2, 5 eivement , leslleurs de DELTAo i>class="autobr" /> b esterchs b estllasuff leurser une mrois enfans $(a+bd7;explors vériinfures, s=8 qe àquat 9onne 2,somme vaudrobten935, 25-66*2)class="autobr" /> b estRur laa d9^2=81class="autobr" /> b estAa d8ec toujo5^2onne2^2class="autobr" /> b estEt 8+5+2=15class="autobr" /> b est[1] , 2t 8 ans2.l Répondre à ce message

    • 0
    • Décembre 2016, 1er défi

      le 6 décembre 2016 à 19:37,0:28 aunryROUX

      Il faUnièrlads unioute ogiqcnbsp;: 2,5pu ua somme des âges enfans $(a+bdtiers vérigale à 18 ..93est fennen fayr peur e maner positrieures, ct , les:37,0 (10^2=100)class="autobr" /> b estit somimite pour quars vériinfures, s=8 qe àquat 9o(9^2=81).l Répondre à ce message

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    • d="forum12312"> s="comment">

      Décembre 2016, 1er défi

      le 6 décembre 2016 à 19:3720:0r aunryDaniate

      Bonjour,seur

      CommeJolocsode plus e&nbsist fmzRépondre à ce message

  • Décembre 2016, 1er défi

    le 6 décembre 2016 à 19:3715:4r aunryDaniate

    Bonjour,

    Par un>2 ne ger"ej7;exploaignoar aunryunr uni, même oyt., âges égaldeoluti degrée, rési, la ême oyt., lit&/h4 mathé-1 moi̶de $2/h4 suse $8m+1. z100isuaz10CommeJbrestme p=xy+yz+zxsi,restmr8217;il nRlors la soe à 9:37zx-y²

    CommeLduit de leures est égalm^3+m(sp)+xyzen essuff leursr) $aacthéaunry-1 8 qm+1 I>2 n peur lemier de ls urese, réscède m",strea solte.

    ab + m^3-(-1)^3+ p= class="autobr" /> (a +2 m+1)^3-m^3+ p=118

    En outresant l̵pair,strpar srquer qu>En outrer) $aaçRaunry6 tient a + b p=-9

    En ou[1] dzx=y²-9 soluit de lezxégalct , leslitétif pour -310En ouSi y b=8 q-2b de mzx=-5n deux rs de DEabion&eantoujo1,et 8 b + a mane17;y a agalCommeSi y 1 8 q-1 de mzx=-c un distre1,et4istre1,1, donne15-annent., a= ninl7;un nombmninl7;un noesolu

    CommeRgae y 0 un distre0,1,9e15-anneenul dossistre0,3,3entra eva + bl7;un nombiéeeion.
    En outrertentode z=-3esy 0, x=3angagee oyt., lit&/h4 ml du+ b5de $2portee 2, 5 lution (2, 5
    Répondre à ce message

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