Un défi par semaine

Décembre 2016, 4e défi

Le 23 décembre 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 52 :

Sur un échiquier, une tour se trouve dans le coin inférieur gauche. Deux joueurs se succèdent pour déplacer cette tour, horizontalement vers la droite ou verticalement vers le haut du nombre de cases qu’ils souhaitent. Le joueur qui arrive à mettre la tour dans le coin supérieur droit gagne. Déterminer une stratégie gagnante à ce jeu.

Solution du 3e défi de Décembre :

Enoncé

La réponse est $36$ nombres.

Observons que :

$3 = 1+2$

$6 = 1+2+3$

$10 = 1+2+3+4$

$15 = 1+2+3+4+5,$

c’est-à-dire que le nombre à la position $n$ de la suite est égal à $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$. Le dernier nombre qu’écrit Paula est un nombre avec trois chiffres identiques, nous pouvons donc l’écrire sous cette forme :

$100\times a+10\times a+a = 111\times a,$

où $a$ est un chiffre. Nous avons alors :

$\frac{n(n+1)}{2}=111\times a= 3\times 37 \times a.$

Comme $37$ est un nombre premier, il doit diviser $n$ ou $n+1$.
De plus $a \leq 9$, donc $n(n+1)\leq 2\times111\times 9=1998$, d’où $n<45$. Nous avons donc deux possibilités : $n=37$ ou $n+1=37$.

Si $n=37$, nous avons $\frac{37\times 38}{2}=703$ qui ne possède pas des chiffres identiques. Si $n+1=37$, nous avons $\frac{36\times 37}{2}=666$ qui correspond bien au nombre cherché. Paula écrira donc $36$ nombres dont le dernier sera $666$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2016, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Décembre 2016, 4e défi

    le 23 décembre 2016 à 07:28, par Al_louarn

    Le second joueur est certain de gagner si à chaque coup il ramène la tour sur la diagonale passant par le coin supérieur droit.
    Ainsi le premier joueur est toujours obligé d’écarter la tour de cette diagonale, et il ne pourra donc jamais la poser dans le coin supérieur droit.
    En revanche d’un coup à l’autre le second joueur fait progresser la tour vers le nord-est le long de la diagonale, jusqu’à atteindre son extrémité (en au plus $7$ coups par joueur).

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    • Décembre 2016, 4e défi

      le 24 décembre 2016 à 00:26, par Niak

      En effet, les positions perdantes sont exactement les positions diagonales et la stratégie gagnante est unique. On peut aussi remarquer que si l’on inverse la condition de victoire, disons que le joueur qui est forcé à amener la tour en $(0,0)$ perd, alors le second joueur a encore une stratégie gagnante (du moins sur un « échiquier » de taille $>2$) qui est la même sauf sur les derniers coups : au premier tour au cours duquel il amènerait la tour en $(1,1)$ ou $(0,0)$ dans l’ancienne stratégie, il doit maintenant à la place l’amener en $(0,1)$ ou $(1,0)$.

      Répondre à ce message

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