Un défi par semaine

Décembre 2017, 1er défi

Le 1er décembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 48 :

La somme des $m$ premiers entiers positifs impairs vaut $212$ de plus que la somme des $n$ premiers entiers positifs pairs. Quelle est la somme de toutes les valeurs possibles des entiers $n$ vérifiant cette condition ?

Solution du 4e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est $16$.

Soient $a, b, c, d, e, f, g, h, i$ les nombres inscrits dans la grille comme sur la figure ci-dessous :

PNG - 14.7 ko

On a alors

$(a\times b\times c)\times (d\times e\times f)=1$

et

$(a\times b\times d\times e)\times (b\times c\times e\times f)=4.$

Il vient $b\times e=4$. De la même façon, on peut conclure que $h\times e=4$. Par conséquent,

$e=1\times e=(b\times e\times h)\times e=(b\times e)\times (h\times e)=16.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2017, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - MAURITUS IMAGES / IMAGEBROKER / J.W. ALKER / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

  • Décembre 2017, 1er défi

    le 1er décembre à 09:21, par amic

    Tout dépend de si 0 est positif ou non ;-)

    Répondre à ce message
  • Décembre 2017, 1er défi

    le 1er décembre à 10:17, par Kamakor

    En considérant 0 comme positif je trouve 46.

    Répondre à ce message
  • Décembre 2017, 1er défi

    le 1er décembre à 18:40, par Niak

    La somme des $m$ premiers impairs est $m^2$, celle des $n$ premiers pairs ($0$ inclus) est $n(n-1)$. On cherche les solutions entières positives de $m^2-n(n-1)=212$, i.e. $n^2-n-(m^2-212)=0$ (trinôme en $n$) d’où $n=\frac{1\pm\sqrt{\Delta}}{2}$ avec $\Delta=4m^2-847$.

    Comme $n$ est un entier positif, le $\pm$ est un $+$ et $\Delta=4m^2-847=\delta^2$ pour $\delta$ un entier positif.

    On a donc $(2m-\delta)(2m+\delta) = 847=7\times11^2$ d’où, en considérant les factorisations possibles sachant que $2m-\delta\leq2m+\delta$, $(2m-\delta,2m+\delta)=(1,847)$ ou $(7,11^2)$ ou $(11,7\times11)$.

    Cela donne $(m,\delta)=(212,423)$ ou $(32,57)$ ou $(22,33)$ et finalement $n=212$ ou $29$ ou $17$. La somme des $n$ solutions est donc $212+29+17=258$.

    Répondre à ce message
    • Décembre 2017, 1er défi

      le 1er décembre à 18:44, par Niak

      Évidemment, si l’on considère $0$ exclus des $n$ premiers pairs (i.e. on commence à $2$), alors les valeurs de $n$ sont simplement décalées de $1$ par rapport à ma réponse précédente et la somme recherchée est $211+28+16=255$.

      Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM