Un défi par semaine

Décembre 2017, 2e défi

Le 8 décembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 49 :

De combien de façons pouvons-nous choisir dans l’ensemble $\{1, 2, \dots, 9\}$ sept nombres dont la somme soit divisible par $3$ ?

Solution du 1er défi de Décembre :

Enoncé

La réponse est $255$.

La somme des $n$ premiers entiers positifs pairs est

$2+4+6+\cdots+2n=2(1+2+3+\cdots+n)=n(n+1).$

La somme des $m$ premiers entiers positifs impairs est

$(1+2+3+\cdots+2m)-(2+4+\cdots+2m)=\frac{2m(2m+1)}{2}- m(m+1)=m^2.$

Les conditions du problème impliquent que $m^2-212=n(n+1)$, ce qui peut s’écrire $n^2+n+(212-m^2)=0$. Les solutions sont :

$n=\frac{-1\pm \sqrt{1-4(212-m^2)}}{2}.$

Ainsi, $1-4(212-m^2)=4m^2-847$ doit être le carré d’un entier positif.
Soit $p^2=4m^2-847$, ce qui peut se factoriser en $(2m+p)(2m-p)=847$. La décomposition en facteurs premiers de 847 est $7\times 11^2$, donc les seules factorisations de $847$ sont $847 \times 1$, $121 \times 7$ et $77 \times 11$, et puisque ces valeurs sont égales à $2m+p$ et $2m-p$, on obtient $(m,p)=(212,423), (32,57)$ et $(22,33)$. On trouve alors les valeurs possibles pour $n$ en utilisant le fait que $n=\frac{-1+p}{2}$, ce qui nous donne les valeurs $211, 28$ et $16$ respectivement. Ainsi, la somme des valeurs possibles pour $n$ est $211+28+16=255$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2017, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - MAURITUS IMAGES / IMAGEBROKER / J.W. ALKER / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

  • Décembre 2017, 2e défi

    le 8 décembre 2017 à 07:40, par Kamakor

    (6x3+3x2)/2=12
    Il y a douze façons.

    Répondre à ce message
  • Décembre 2017, 2e défi

    le 8 décembre 2017 à 11:07, par Niak

    La somme de l’ensemble est $45$, divisible par $3$, donc choisir sept nombres dont la somme est divisible par $3$, c’est exactement en choisir deux (à exclure) dont la somme est également divisible par $3$. Pour chaque $0\leq r<3$ on a exactement trois nombres congrus à $r$ modulo $3$ dans l’ensemble. Ainsi l’on a $\binom{3}{2}=3$ choix possibles de deux nombres congrus à $0$ et $3\times3=9$ choix possibles d’un congru à $1$ avec un congru à $2$. D’où $3+9=12$ choix possibles au total.

    Répondre à ce message
  • Décembre 2017, 2e défi

    le 10 décembre 2017 à 10:10, par ROUX

    La somme des entiers de 1 à 9 vaut 45 et est multiple de 3.
    Il faut que je trouve deux entiers dont la somme est elle aussi multiple de 3.
    Il faut faire soigneusement le comptage des entiers, le deuxième étant toujours au moins égal à +1 le premier.
    Avec 1, je peux faire des sommes de 3 à 10 soit 3 multiples de 3, donc 3/3.
    Avec 2, je peux faire des sommes de 5 à 11 soit 2 multiples de 3, donc 2/5.
    Avec 3, je peux faire des sommes de 7 à 12 soit 2 multiples de 3, donc 2/7.
    Avec 4, je peux faire des sommes de 9 à 13 soit 2 multiples de 3, donc 2/9.
    Avec 5, je peux faire des sommes de 11 à 14 soit 1 multiple de 3, donc 1/10.
    Avec 6, je peux faire des sommes de 13 à 15 soit 1 multiples de 3, donc 1/11.
    Avec 7, je peux faire des sommes de 15 à 16 soit 1 multiple de 3, donc 1/12.
    Avec 8, je peux faire juste 17 soit 0 multiple de 3, donc 0/12.
    12.

    Répondre à ce message

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