Un défi par semaine

Décembre 2017, 3e défi

Le 15 décembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 50 :

Les cinq participantes à la finale de la compétition de natation étaient : Anne, Marie, Paule, Laura et Sophie. Laura n’a été ni la première ni la dernière et elle est arrivée avant Anne. Sophie a nagé plus vite que Marie. Paule a été plus rapide que Laura mais plus lente que Marie. À quelle position arriva Marie à cette finale ?

Solution du 2e défi de Décembre :

Enoncé

La réponse est $12$ façons.

Premièrement, nous notons que la somme des nombres de $1$ à $9$ est $45$, qui est divisible par $3$. Ainsi, la somme des sept nombres choisis sera divisible par $3$ si et seulement si la somme des nombres restants est également divisible par $3$.

Il est plus facile de compter le nombre de façons de choisir les deux nombres restants. Pour cela, nous devons choisir deux nombres divisibles par $3$ ou un nombre qui laisse un reste de $1$ et un autre un reste de $2$ dans la division euclidienne par $3$. Nous avons les cas suivants :

  • Si les deux nombres doivent être choisis dans l’ensemble $\{3,6,9\}$, nous obtenons trois possibilités.
  • Si l’un des deux nombres est pris dans l’ensemble $\{1,4,7\}$ et l’autre dans l’ensemble $\{2,5,8\}$, nous obtenons $3 \times 3 = 9$ possibilités.

Ainsi, il y a au total $3+9=12$ possibilités.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2017, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - MAURITUS IMAGES / IMAGEBROKER / J.W. ALKER / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

  • Décembre 2017, 3e défi

    le 15 décembre 2017 à 07:11, par ROUX

    Les informations d’ordre donnent :
    LA
    SM
    MPL
    Donc SMPL
    Comme L ne peut pas être dernière :
    SMPLA.
    Deuxième.

    Répondre à ce message
    • Décembre 2017, 3e défi

      le 15 décembre 2017 à 15:40, par Niak

      Oui, au passage l’information « Laura n’a été ni la première ni la dernière » est superflue puisque l’énoncé nous indique par ailleurs $P < L < A$.

      Répondre à ce message

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