Un défi par semaine

Décembre 2017, 4e défi

Le 22 décembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (12)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 51 :

Un entier positif est sympathique s’il est multiple du produit de ses chiffres.
Par exemple $312$ est un nombre sympathique puisque $312=52\times (3\times 1\times 2)$. Combien y a-t-il de nombres sympathiques à deux chiffres ?

Solution du 3e défi de Décembre :

Enoncé

La réponse est en deuxième position.

L’énoncé dit que Sophie a nagé plus vite que Marie, que Marie a été plus rapide que Paule et Paule plus rapide que Laura, et enfin que Laura est arrivée avant Anne. Le classement final est donc : Sophie, Marie, Paule, Laura et Anne, donc Marie est arrivée en deuxième position.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2017, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - MAURITUS IMAGES / IMAGEBROKER / J.W. ALKER / PHOTONONSTOP

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  • Décembre 2017, 4e défi

    le 22 décembre 2017 à 11:38, par Kamakor

    Soit N un tel nombre. On note d son chiffre des dizaines et u son chiffre des unités.
    On a donc N=10d + u avec 0 <d<10 u<10
    Ainsi u x d divise N => d divise N => d divise 10d + u => d divise u
    Il existe donc un entier naturel k tel que u= k x d
    Ainsi u x d divise N => u divise N => u divise 10d+u => u divise 10d => k x d divise 10d <=> k divise 10
    On a donc u=d , u=2d ou u=5d (et c’est tout car 10d>9)

    Si u=d alors : u x d divise 10d+u <=> d² divise 11d <=> d divise 11 d’où d=1 et u=1 et N=11
    Si u=2d alors : u x d divise 10d+u <=> 2d² divise 12d <=> d divise 6 d’où N=12, N=24 ou N=36
    Si u=5d alors : u x d divise 10d+u <=> 5d² divise 15d <=> d divise 3 d’où N=15

    Au final on a cinq solutions :11, 12, 15, 24 et 36

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