Un défi par semaine

Décembre 2017, 5e défi

Le 29 décembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 52 :

Combien de nombres, compris entre $1$ et $2017$, peuvent être écrits comme la somme d’au moins deux puissances de $3$ différentes ?

Solution du 4e défi de Décembre :

Enoncé

La réponse est $5$ nombres.

Soit $ab$ un entier sympathique à deux chiffres $a$ et $b$. Par définition nous avons $ab=k\times a\times b$, avec $k$ un nombre entier positif. En utilisant l’écriture décimale de $ab$, nous pouvons écrire :

$10a+b = k\times a\times b$

$b =a(k\times b-10),$

Nous en déduisons que $b$ est un multiple de $a$, c’est-à-dire que $b=a\times r$, avec $r$ un nombre entier tel que $1\leq r\leq 9$. En substituant, nous obtenons : $a(k\times b-10) = a \times r$, et donc $r=k\times b-10$. En poursuivant, nous avons $r+10=k\times a\times r$, d’où $r(k\times a-1)=10$. En particulier, $r$ est un diviseur de $10$, c’est-à-dire que $r=1, 2$ ou $5$.

  • Si $r=1$ alors $k\times a=11$. Puisque $a$ est un chiffre, $a=1$ et $k=11$. Donc $ab=11$.
  • Si $r=2$ alors $k\times a=6$ et $b=2\times a$, donc $ab$ est égal à $12, 24$ ou $36$.
  • Si $r=5$ alors $k\times a=3$ et $b=5\times a$, donc l’unique possibilité est $ab=15$.

Ainsi il existe cinq nombres sympathiques : 11, 12, 15, 24 et 36.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2017, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - MAURITUS IMAGES / IMAGEBROKER / J.W. ALKER / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

  • Décembre 2017, 5e défi

    le 29 décembre 2017 à 12:38, par Niak

    Il s’agit des nombres inférieurs à $2017$ dont l’écriture en base $3$ comporte au moins deux $1$ et aucun $2$ (puissances distinctes). Comme $2017$ s’écrit $2202201$ en base $3$, sur sept chiffres en commençant par un $2$, les nombres inférieurs à $2017$ vérifiant la propriété précédente sont exactement ceux s’écrivant sur au plus sept chiffres en base $3$. Il y en a $2^7-1-7=120$ (choix de $0$ ou $1$ pour chaque chiffre, on retire $0$ et ceux ne comportant qu’un seul $1$ du compte).

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    • Décembre 2017, 5e défi

      le 29 décembre 2017 à 13:02, par Niak

      Précisons que dans ce raisonnement on considère $1=3^0$ comme une puissance de $3$, mais si l’on choisissait de l’exclure (i.e. de fixer le dernier chiffre à $0$) il resterait $2^6-1-6=57$ nombres.

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      • Décembre 2017, 5e défi

        le 29 décembre 2017 à 16:09, par Celem Mene

        C’est ennuyeux, j’en trouve 58. La liste est dessous. Il y en a 59, mais 1729 apparaît deux fois (positions 11 et 59).

        Je n’ai pas ton brillant raisonnement, alors je l’ai résolu à l’aide de l’informatique.

        1 : 1³ + 2³ = 9
        2 : 1³ + 3³ = 28
        3 : 1³ + 4³ = 65
        4 : 1³ + 5³ = 126
        5 : 1³ + 6³ = 217
        6 : 1³ + 7³ = 344
        7 : 1³ + 8³ = 513
        8 : 1³ + 9³ = 730
        9 : 1³ + 10³ = 1001
        10 : 1³ + 11³ = 1332
        11 : 1³ + 12³ = 1729
        12 : 2³ + 3³ = 35
        13 : 2³ + 4³ = 72
        14 : 2³ + 5³ = 133
        15 : 2³ + 6³ = 224
        16 : 2³ + 7³ = 351
        17 : 2³ + 8³ = 520
        18 : 2³ + 9³ = 737
        19 : 2³ + 10³ = 1008
        20 : 2³ + 11³ = 1339
        21 : 2³ + 12³ = 1736
        22 : 3³ + 4³ = 91
        23 : 3³ + 5³ = 152
        24 : 3³ + 6³ = 243
        25 : 3³ + 7³ = 370
        26 : 3³ + 8³ = 539
        27 : 3³ + 9³ = 756
        28 : 3³ + 10³ = 1027
        29 : 3³ + 11³ = 1358
        30 : 3³ + 12³ = 1755
        31 : 4³ + 5³ = 189
        32 : 4³ + 6³ = 280
        33 : 4³ + 7³ = 407
        34 : 4³ + 8³ = 576
        35 : 4³ + 9³ = 793
        36 : 4³ + 10³ = 1064
        37 : 4³ + 11³ = 1395
        38 : 4³ + 12³ = 1792
        39 : 5³ + 6³ = 341
        40 : 5³ + 7³ = 468
        41 : 5³ + 8³ = 637
        42 : 5³ + 9³ = 854
        43 : 5³ + 10³ = 1125
        44 : 5³ + 11³ = 1456
        45 : 5³ + 12³ = 1853
        46 : 6³ + 7³ = 559
        47 : 6³ + 8³ = 728
        48 : 6³ + 9³ = 945
        49 : 6³ + 10³ = 1216
        50 : 6³ + 11³ = 1547
        51 : 6³ + 12³ = 1944
        52 : 7³ + 8³ = 855
        53 : 7³ + 9³ = 1072
        54 : 7³ + 10³ = 1343
        55 : 7³ + 11³ = 1674
        56 : 8³ + 9³ = 1241
        57 : 8³ + 10³ = 1512
        58 : 8³ + 11³ = 1843
        59 : 9³ + 10³ = 1729

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        • Décembre 2017, 5e défi

          le 29 décembre 2017 à 17:40, par orion8

          Euh... Puissances de trois, et non pas puissances 3 !

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        • Décembre 2017, 5e défi

          le 29 décembre 2017 à 22:00, par Niak

          Une puissance de $3$ est un nombre de la forme $3^k$, alors que vous avez considéré les entiers au cube ($n^3$). (Et par ailleurs il vous en manque, par exemple $36 = 1^3+2^3+3^3$, puisque l’énoncé indique « somme d’au moins deux ».)

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          • Décembre 2017, 5e défi

            le 30 décembre 2017 à 07:07, par orion8

            Ainsi que $1=0^3+1^3$, $8=0^3+2^3$, $27=0^3+3^3$, etc.

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          • Décembre 2017, 5e défi

            le 30 décembre 2017 à 11:31, par Celem Mene

            Tonnere ! J’y retourne.

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  • Décembre 2017, 5e défi

    le 2 janvier à 12:01, par drai.david

    Il est amusant de constater que l’erreur de Celem Mene lui a fait redécouvrir Ta(2), le fameux 2ème nombre taxicab popularisé par Ramanujan...
    Voir : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_taxicab

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