Un défi par semaine

Décembre 2017, 5e défi

Le 29 décembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 52 :

Combien de nombres, compris entre $1$ et $2017$, peuvent être écrits comme la somme d’au moins deux puissances de $3$ différentes ?

Solution du 4e défi de Décembre :

Enoncé

La réponse est $5$ nombres.

Soit $ab$ un entier sympathique à deux chiffres $a$ et $b$. Par définition nous avons $ab=k\times a\times b$, avec $k$ un nombre entier positif. En utilisant l’écriture décimale de $ab$, nous pouvons écrire :

$10a+b = k\times a\times b$

$b =a(k\times b-10),$

Nous en déduisons que $b$ est un multiple de $a$, c’est-à-dire que $b=a\times r$, avec $r$ un nombre entier tel que $1\leq r\leq 9$. En substituant, nous obtenons : $a(k\times b-10) = a \times r$, et donc $r=k\times b-10$. En poursuivant, nous avons $r+10=k\times a\times r$, d’où $r(k\times a-1)=10$. En particulier, $r$ est un diviseur de $10$, c’est-à-dire que $r=1, 2$ ou $5$.

  • Si $r=1$ alors $k\times a=11$. Puisque $a$ est un chiffre, $a=1$ et $k=11$. Donc $ab=11$.
  • Si $r=2$ alors $k\times a=6$ et $b=2\times a$, donc $ab$ est égal à $12, 24$ ou $36$.
  • Si $r=5$ alors $k\times a=3$ et $b=5\times a$, donc l’unique possibilité est $ab=15$.

Ainsi il existe cinq nombres sympathiques : 11, 12, 15, 24 et 36.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2017, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - MAURITUS IMAGES / IMAGEBROKER / J.W. ALKER / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

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  • Décembre 2017, 5e défi

    le 29 décembre 2017 à 13:02, par Niak

    Précisons que dans ce raisonnement on considère $1=3^0$ comme une puissance de $3$, mais si l’on choisissait de l’exclure (i.e. de fixer le dernier chiffre à $0$) il resterait $2^6-1-6=57$ nombres.

    Répondre à ce message

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