Un défi par semaine

Décembre 2017, 5e défi

Le 29 décembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 52 :

Combien de nombres, compris entre $1$ et $2017$, peuvent être écrits comme la somme d’au moins deux puissances de $3$ différentes ?

Solution du 4e défi de Décembre :

Enoncé

La réponse est $5$ nombres.

Soit $ab$ un entier sympathique à deux chiffres $a$ et $b$. Par définition nous avons $ab=k\times a\times b$, avec $k$ un nombre entier positif. En utilisant l’écriture décimale de $ab$, nous pouvons écrire :

$10a+b = k\times a\times b$

$b =a(k\times b-10),$

Nous en déduisons que $b$ est un multiple de $a$, c’est-à-dire que $b=a\times r$, avec $r$ un nombre entier tel que $1\leq r\leq 9$. En substituant, nous obtenons : $a(k\times b-10) = a \times r$, et donc $r=k\times b-10$. En poursuivant, nous avons $r+10=k\times a\times r$, d’où $r(k\times a-1)=10$. En particulier, $r$ est un diviseur de $10$, c’est-à-dire que $r=1, 2$ ou $5$.

  • Si $r=1$ alors $k\times a=11$. Puisque $a$ est un chiffre, $a=1$ et $k=11$. Donc $ab=11$.
  • Si $r=2$ alors $k\times a=6$ et $b=2\times a$, donc $ab$ est égal à $12, 24$ ou $36$.
  • Si $r=5$ alors $k\times a=3$ et $b=5\times a$, donc l’unique possibilité est $ab=15$.

Ainsi il existe cinq nombres sympathiques : 11, 12, 15, 24 et 36.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2017, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - MAURITUS IMAGES / IMAGEBROKER / J.W. ALKER / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

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  • Décembre 2017, 5e défi

    le 29 décembre 2017 à 16:09, par Celem Mene

    C’est ennuyeux, j’en trouve 58. La liste est dessous. Il y en a 59, mais 1729 apparaît deux fois (positions 11 et 59).

    Je n’ai pas ton brillant raisonnement, alors je l’ai résolu à l’aide de l’informatique.

    1 : 1³ + 2³ = 9
    2 : 1³ + 3³ = 28
    3 : 1³ + 4³ = 65
    4 : 1³ + 5³ = 126
    5 : 1³ + 6³ = 217
    6 : 1³ + 7³ = 344
    7 : 1³ + 8³ = 513
    8 : 1³ + 9³ = 730
    9 : 1³ + 10³ = 1001
    10 : 1³ + 11³ = 1332
    11 : 1³ + 12³ = 1729
    12 : 2³ + 3³ = 35
    13 : 2³ + 4³ = 72
    14 : 2³ + 5³ = 133
    15 : 2³ + 6³ = 224
    16 : 2³ + 7³ = 351
    17 : 2³ + 8³ = 520
    18 : 2³ + 9³ = 737
    19 : 2³ + 10³ = 1008
    20 : 2³ + 11³ = 1339
    21 : 2³ + 12³ = 1736
    22 : 3³ + 4³ = 91
    23 : 3³ + 5³ = 152
    24 : 3³ + 6³ = 243
    25 : 3³ + 7³ = 370
    26 : 3³ + 8³ = 539
    27 : 3³ + 9³ = 756
    28 : 3³ + 10³ = 1027
    29 : 3³ + 11³ = 1358
    30 : 3³ + 12³ = 1755
    31 : 4³ + 5³ = 189
    32 : 4³ + 6³ = 280
    33 : 4³ + 7³ = 407
    34 : 4³ + 8³ = 576
    35 : 4³ + 9³ = 793
    36 : 4³ + 10³ = 1064
    37 : 4³ + 11³ = 1395
    38 : 4³ + 12³ = 1792
    39 : 5³ + 6³ = 341
    40 : 5³ + 7³ = 468
    41 : 5³ + 8³ = 637
    42 : 5³ + 9³ = 854
    43 : 5³ + 10³ = 1125
    44 : 5³ + 11³ = 1456
    45 : 5³ + 12³ = 1853
    46 : 6³ + 7³ = 559
    47 : 6³ + 8³ = 728
    48 : 6³ + 9³ = 945
    49 : 6³ + 10³ = 1216
    50 : 6³ + 11³ = 1547
    51 : 6³ + 12³ = 1944
    52 : 7³ + 8³ = 855
    53 : 7³ + 9³ = 1072
    54 : 7³ + 10³ = 1343
    55 : 7³ + 11³ = 1674
    56 : 8³ + 9³ = 1241
    57 : 8³ + 10³ = 1512
    58 : 8³ + 11³ = 1843
    59 : 9³ + 10³ = 1729

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