Décembre 2017, 5e défi

Le 29 décembre 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 52 :

Combien de nombres, compris entre $1$ et $2017$, peuvent être écrits comme la somme d’au moins deux puissances de $3$ différentes ?

Solution du 4e défi de Décembre :

Enoncé

La réponse est $5$ nombres.

Soit $ab$ un entier sympathique à deux chiffres $a$ et $b$. Par définition nous avons $ab=k\times a\times b$, avec $k$ un nombre entier positif. En utilisant l’écriture décimale de $ab$, nous pouvons écrire :

$10a+b = k\times a\times b$

$b =a(k\times b-10),$

Nous en déduisons que $b$ est un multiple de $a$, c’est-à-dire que $b=a\times r$, avec $r$ un nombre entier tel que $1\leq r\leq 9$. En substituant, nous obtenons : $a(k\times b-10) = a \times r$, et donc $r=k\times b-10$. En poursuivant, nous avons $r+10=k\times a\times r$, d’où $r(k\times a-1)=10$. En particulier, $r$ est un diviseur de $10$, c’est-à-dire que $r=1, 2$ ou $5$.

Si $r=1$ alors $k\times a=11$. Puisque $a$ est un chiffre, $a=1$ et $k=11$. Donc $ab=11$.
Si $r=2$ alors $k\times a=6$ et $b=2\times a$, donc $ab$ est égal à $12, 24$ ou $36$.
Si $r=5$ alors $k\times a=3$ et $b=5\times a$, donc l’unique possibilité est $ab=15$.

Ainsi il existe cinq nombres sympathiques : 11, 12, 15, 24 et 36.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

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Décembre 2017, 5e défi

le 2 janvier 2018 à 12:01, par drai.david

Il est amusant de constater que l’erreur de Celem Mene lui a fait redécouvrir Ta(2), le fameux 2ème nombre taxicab popularisé par Ramanujan...
Voir : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_taxicab
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