Un défi par semaine

Décembre 2018, 1er défi

Le 7 décembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 49

Combien d’entiers $n$ entre $1$ et $100$ sont tels que $n^2+4$ et $n+3$ ont un diviseur commun plus grand que $1$ ?

Solution du 5e défi de novembre :

Enoncé

La solution est : $71$.

Comme le produit des deux chiffres est un nombre premier, un des chiffres doit être $1$.

Donc l’autre chiffre est un nombre premier, vu que c’est le résultat du produit des chiffres.

Ainsi, l’autre chiffre ne peut être que $2$, $3$, $5$, $7$.

La combinaison qui donne le plus grand nombre premier est $71$, lequel satisfait les conditions du problème puisque 17 est aussi premier.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2018, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Décembre 2018, 1er défi

    le 6 décembre à 17:57, par Celem Mene

    Sept entiers conviennent :
    10, 23, 36, 49, 62, 75 et 88.
    Le pgcd est à chaque fois 13.
    L’ayant résolu informatiquement, je laisse aux gens compétents le soin de la démonstration.

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    • Décembre 2018, 1er défi

      le 11 décembre à 04:05, par fabevrard

      Voici un petit programme qui les donne tous, aussi loin qu’on veut (Je me suis arrêté à 140) :

       ?- length(_,N), 1 =\= gcd(N+3,N*N+4).

      N = 10 ;
      N = 23 ;
      N = 36 ;
      N = 49 ;
      N = 62 ;
      N = 75 ;
      N = 88 ;
      N = 101 ;
      N = 114 ;
      N = 127 ;
      N = 140 .

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  • Décembre 2018, 1er défi

    le 6 décembre à 21:06, par Mario

    $\mathbf {n^2 + 4} = n\mathbf{(n + 3)} - \mathbf{3n + 4}$
    Donc, $d$ est un diviseur de $n^2 + 4$ et de $n + 3$ si et seulement si $d$ est un diviseur de $n + 3$ et $3n - 4$.
    $\mathbf{3n - 4} = 3\mathbf{(n + 3)} - \mathbf{13}$
    Donc, $d$ est un diviseur de $n + 3$ et $3n - 4$ si et seulement si $d$ est un diviseur de $n + 3$ et $13$.
    Finalement, comme on cherche un diviseur plus grand que $1$, on a :
    $d$ est un diviseur de $n^2 + 4$ et de $n + 3$ plus grand que $1$ si et seulement si $d = 13$.
    Donc, si et seulement si $n + 3$ est un multiples de $13$ avec $1 \le n \le 100$ : $\{13,26,39,52,65,78,91\}$.
    Et par conséquent, $8$ entiers $n$ conviennent : $10,23,36,49,62,75,88$.

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    • Décembre 2018, 1er défi

      le 7 décembre à 19:21, par Mario

      Prochain défi du vendredi : compter jusqu’à 7 !
      Je me corrige : $7$ entiers conviennent.

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    • Décembre 2018, 1er défi

      le 8 décembre à 14:40, par FredM

      Bonjour,
      Dans le même esprit, n²+4 = (n+3)(n-3)+13
      Or PGCD(n²+4, n+3) = PGCD(n+3, (n²+4)mod(n+3)) = PGCD(n+3, 13) = 1 ou 13 car 13 premier.
      Il y a 7 valeurs de n<101 telles que (n+3) soit multiple de 13. Donc 7.

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  • Décembre 2018, 1er défi

    le 7 décembre à 12:33, par ROUX

    n + 3 = a*q ou n = a*q - 3.
    Alors n^2 = ( a^2*q - 6 *a ) * q + 9.
    Mais n^2 + 4 = b*q.
    Donc b*q - 4 = ( a^2*q - 6 *a ) * q + 9 ou
    q*( b - ( a^2*q - 6 *a )) = 13 = 13*1.
    Donc, q = 13 (et alors ( b - ( a^2*q - 6 *a )) = 1 ).
    Par exemple, si a = 1, on a n = 10.
    Et 10^2 + 4 = 104 = 13*8.
    Mais je pouvais aussi faire ( b - ( 1^2*q - 6 *1 )) = 1 ou
    b - ( 13 - 6 ) = 1 ou b - 7 = 1 ou b = 8.
    Ok, ça fonctionne.
    Partie entière de ( 100/13 ) = 7.
    7 est la réponse.

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