Un défi par semaine

Décembre 2018, 1er défi

Le 7 décembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 49

Combien d’entiers $n$ entre $1$ et $100$ sont tels que $n^2+4$ et $n+3$ ont un diviseur commun plus grand que $1$ ?

Solution du 5e défi de novembre :

Enoncé

La solution est : $71$.

Comme le produit des deux chiffres est un nombre premier, un des chiffres doit être $1$.

Donc l’autre chiffre est un nombre premier, vu que c’est le résultat du produit des chiffres.

Ainsi, l’autre chiffre ne peut être que $2$, $3$, $5$, $7$.

La combinaison qui donne le plus grand nombre premier est $71$, lequel satisfait les conditions du problème puisque 17 est aussi premier.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2018, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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  • Décembre 2018, 1er défi

    le 6 décembre 2018 à 21:06, par Mario

    $\mathbf {n^2 + 4} = n\mathbf{(n + 3)} - \mathbf{3n + 4}$
    Donc, $d$ est un diviseur de $n^2 + 4$ et de $n + 3$ si et seulement si $d$ est un diviseur de $n + 3$ et $3n - 4$.
    $\mathbf{3n - 4} = 3\mathbf{(n + 3)} - \mathbf{13}$
    Donc, $d$ est un diviseur de $n + 3$ et $3n - 4$ si et seulement si $d$ est un diviseur de $n + 3$ et $13$.
    Finalement, comme on cherche un diviseur plus grand que $1$, on a :
    $d$ est un diviseur de $n^2 + 4$ et de $n + 3$ plus grand que $1$ si et seulement si $d = 13$.
    Donc, si et seulement si $n + 3$ est un multiples de $13$ avec $1 \le n \le 100$ : $\{13,26,39,52,65,78,91\}$.
    Et par conséquent, $8$ entiers $n$ conviennent : $10,23,36,49,62,75,88$.

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