Un défi par semaine

Décembre 2018, 1er défi

Le 7 décembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 49

Combien d’entiers $n$ entre $1$ et $100$ sont tels que $n^2+4$ et $n+3$ ont un diviseur commun plus grand que $1$ ?

Solution du 5e défi de novembre :

Enoncé

La solution est : $71$.

Comme le produit des deux chiffres est un nombre premier, un des chiffres doit être $1$.

Donc l’autre chiffre est un nombre premier, vu que c’est le résultat du produit des chiffres.

Ainsi, l’autre chiffre ne peut être que $2$, $3$, $5$, $7$.

La combinaison qui donne le plus grand nombre premier est $71$, lequel satisfait les conditions du problème puisque 17 est aussi premier.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2018, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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  • Décembre 2018, 1er défi

    le 7 décembre à 12:33, par ROUX

    n + 3 = a*q ou n = a*q - 3.
    Alors n^2 = ( a^2*q - 6 *a ) * q + 9.
    Mais n^2 + 4 = b*q.
    Donc b*q - 4 = ( a^2*q - 6 *a ) * q + 9 ou
    q*( b - ( a^2*q - 6 *a )) = 13 = 13*1.
    Donc, q = 13 (et alors ( b - ( a^2*q - 6 *a )) = 1 ).
    Par exemple, si a = 1, on a n = 10.
    Et 10^2 + 4 = 104 = 13*8.
    Mais je pouvais aussi faire ( b - ( 1^2*q - 6 *1 )) = 1 ou
    b - ( 13 - 6 ) = 1 ou b - 7 = 1 ou b = 8.
    Ok, ça fonctionne.
    Partie entière de ( 100/13 ) = 7.
    7 est la réponse.

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