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• Décembre 2018, 1er défi

  le 6 décembre 2018 à 17:57, par Celem Mene

  Sept entiers conviennent :
  10, 23, 36, 49, 62, 75 et 88.
  Le pgcd est à chaque fois 13.
  L’ayant résolu informatiquement, je laisse aux gens compétents le soin de la démonstration.

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• Décembre 2018, 1er défi

  le 11 décembre 2018 à 04:05, par fabevrard

  Voici un petit programme qui les donne tous, aussi loin qu’on veut (Je me suis arrêté à 140) :

   ?- length(_,N), 1 =\= gcd(N+3,N*N+4).

  N = 10 ;
  N = 23 ;
  N = 36 ;
  N = 49 ;
  N = 62 ;
  N = 75 ;
  N = 88 ;
  N = 101 ;
  N = 114 ;
  N = 127 ;
  N = 140 .

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• Décembre 2018, 1er défi

  le 6 décembre 2018 à 21:06, par Mario

  $\mathbf {n^2 + 4} = n\mathbf{(n + 3)} - \mathbf{3n + 4}$
  Donc, $d$ est un diviseur de $n^2 + 4$ et de $n + 3$ si et seulement si $d$ est un diviseur de $n + 3$ et $3n - 4$.
  $\mathbf{3n - 4} = 3\mathbf{(n + 3)} - \mathbf{13}$
  Donc, $d$ est un diviseur de $n + 3$ et $3n - 4$ si et seulement si $d$ est un diviseur de $n + 3$ et $13$.
  Finalement, comme on cherche un diviseur plus grand que $1$, on a :
  $d$ est un diviseur de $n^2 + 4$ et de $n + 3$ plus grand que $1$ si et seulement si $d = 13$.
  Donc, si et seulement si $n + 3$ est un multiples de $13$ avec $1 \le n \le 100$ : $\{13,26,39,52,65,78,91\}$.
  Et par conséquent, $8$ entiers $n$ conviennent : $10,23,36,49,62,75,88$.

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• Décembre 2018, 1er défi

  le 7 décembre 2018 à 19:21, par Mario

  Prochain défi du vendredi : compter jusqu’à 7 !
  Je me corrige : $7$ entiers conviennent.

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• Décembre 2018, 1er défi

  le 8 décembre 2018 à 14:40, par FredM

  Bonjour,
  Dans le même esprit, n²+4 = (n+3)(n-3)+13
  Or PGCD(n²+4, n+3) = PGCD(n+3, (n²+4)mod(n+3)) = PGCD(n+3, 13) = 1 ou 13 car 13 premier.
  Il y a 7 valeurs de n<101 telles que (n+3) soit multiple de 13. Donc 7.

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• Décembre 2018, 1er défi

  le 7 décembre 2018 à 12:33, par ROUX

  n + 3 = a*q ou n = a*q - 3.
  Alors n^2 = ( a^2*q - 6 *a ) * q + 9.
  Mais n^2 + 4 = b*q.
  Donc b*q - 4 = ( a^2*q - 6 *a ) * q + 9 ou
  q*( b - ( a^2*q - 6 *a )) = 13 = 13*1.
  Donc, q = 13 (et alors ( b - ( a^2*q - 6 *a )) = 1 ).
  Par exemple, si a = 1, on a n = 10.
  Et 10^2 + 4 = 104 = 13*8.
  Mais je pouvais aussi faire ( b - ( 1^2*q - 6 *1 )) = 1 ou
  b - ( 13 - 6 ) = 1 ou b - 7 = 1 ou b = 8.
  Ok, ça fonctionne.
  Partie entière de ( 100/13 ) = 7.
  7 est la réponse.

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