Décembre 2018, 2e défi

Le 14 décembre 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 50

Sur une table sont posés $15$ bâtonnets en bois de
$1,2,3,\ldots,15\,cm$ de longueur.

Si on en prend trois au hasard, quelle est la probabilité que l’on puisse former un triangle rectangle avec ces trois bâtonnets ?

Solution du 1er défi de décembre :

Enoncé

La solution est : $7$.

Si $d$ divise $n^2+4$ et $n+3$, alors $d$ est aussi un diviseur de $n^2+4-(n+3)(n-3)=13$.

Donc, si $n^2+4$ et $n+3$ ont un diviseur commun plus grand que $1$, ce dernier doit être $13$.

Observons que $n+3$ est divisible par $13$ si et seulement si $n=13k+10$, pour un certain entier $k$ (puisque $n+3=13j$ si et seulement si $n=13j-3=13j-13+10=13(j+1)+10$).

Donc
\[n^2+4=(13k+10)^2+4=169k^2+260k+104=13(13k^2+20k+8)\]
est aussi divisible par $13$.

Finalement $13k+10$ est un entier entre $1$ et $100$ si et seulement si $0\leq k\leq 6$.

Par conséquent, il y a $7$ entiers qui satisfont la condition.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Décembre 2018, 2e défi

le 14 décembre 2018 à 08:49, par Al_louarn

Pour former un triangle rectangle il faut tomber sur un triplet $(a,b,c)$ pythagoricien : $a^2 + b^2 = c^2$
Le nombre total de triplets $(a,b,c)$ tels que $1 \leq a < b < c \leq 15$ est le coefficient binomial $\binom{3}{15}=\dfrac{15!}{3!12!}=455$
Parmi eux il y a $2$ triplets pyhagoriciens primitifs, c’est-à-dire tels que $a$,$b$,$c$ sont premiers entre eux :
$(3,4,5)$
$(5,12,13)$
Auxquels il faut ajouter $2$ multiples de $(3,4,5)$ qui ne dépassent pas $15$ :
$(6,4,10)$
$(9,12,15)$
La probabilité de tomber sur un triplet pythagoricien est donc $\dfrac{4}{455}$.
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