Un défi par semaine

Décembre 2018, 2e défi

Le 14 décembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 50

Sur une table sont posés $15$ bâtonnets en bois de
$1,2,3,\ldots,15\,cm$ de longueur.

Si on en prend trois au hasard, quelle est la probabilité que l’on puisse former un triangle rectangle avec ces trois bâtonnets ?

Solution du 1er défi de décembre :

Enoncé

La solution est : $7$.

Si $d$ divise $n^2+4$ et $n+3$, alors $d$ est aussi un diviseur de $n^2+4-(n+3)(n-3)=13$.

Donc, si $n^2+4$ et $n+3$ ont un diviseur commun plus grand que $1$, ce dernier doit être $13$.

Observons que $n+3$ est divisible par $13$ si et seulement si $n=13k+10$, pour un certain entier $k$ (puisque $n+3=13j$ si et seulement si $n=13j-3=13j-13+10=13(j+1)+10$).

Donc
\[n^2+4=(13k+10)^2+4=169k^2+260k+104=13(13k^2+20k+8)\]
est aussi divisible par $13$.

Finalement $13k+10$ est un entier entre $1$ et $100$ si et seulement si $0\leq k\leq 6$.

Par conséquent, il y a $7$ entiers qui satisfont la condition.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2018, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Décembre 2018, 2e défi

    le 20 décembre 2018 à 10:38, par Manuel Selva

    Il y a une petite coquille dans votre troisième solution : (6, 8, 10) et non (6, 4, 10).

    — 
    Manuel

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