Un défi par semaine

Décembre 2018, 3e défi

Le 21 décembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 51

Soient $h$, $m$, $t$ et $u$ des nombres entiers tels que
$h+u=m+t$.

Le nombre $1000 m+100 h+10t+u$ est-il divisible par $11$ ?

Solution du 2e défi de décembre :

Enoncé

La solution est : $\dfrac{4}{455}$.

Comptons d’abord le nombre total de triplets de bâtonnets qu’on peut former.

Comme l’ordre dans lequel on prend les trois bâtonnets n’a pas d’influence, il y a $\binom{15}{3}=\frac{15\times 14\times 13}{3!}=455$ triplets possibles.

En utilisant le théorème de Pythagore on sait que avec trois bâtonnets de longueurs $a,b$ et $c$, avec $a>b>c$, forment un triangle rectangle si et seulement si $a^2=b^2+c^2$.

Les seuls triplets qui satisfont cette condition sont (5, 4, 3), (10, 8, 6), (13, 12, 5) et (15, 12, 9).

Par conséquent, la probabilité de tirer un de ces triplets est de $\frac{4}{455}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Décembre 2018, 3e défi

    le 21 décembre 2018 à 08:13, par Al_louarn

    $n=1000m + 10t + u + 100h$
    $n=990m + 10m + 10t + u + h + 99h$
    $n=990m + 10(m+t) + m + t + 99h$
    $n=11 \times 90m + 11(m+t) + 11 \times 9h$
    $n=11(91m + t + 9h)$

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  • Décembre 2018, 3e défi

    le 21 décembre 2018 à 18:25, par Daniate

    Par paresse on peut évoquer le critère de divisibilité par 11 : la somme alternée des chiffres donne m - h + t - u = 0 qui est bien divisible par 11.

    On peut aussi retrouver le résultat proposé par Al_louarn en ajoutant au nombre m - h + t - u = 0 pour obtenir 1001m+99h+11t=11(91m+9h+t).

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    • Décembre 2018, 3e défi

      le 21 décembre 2018 à 22:53, par bistraque

      L’usage du critère de divisibilité laisse penser que m, h, t et u sont des chiffres (de 0 à 9) ce qui n’est pas le cas d’après l’énoncé. Autant donc utiliser l’origine de ce critère : l’arithmétique modulo 11
      10 = -1 mod 11 donc 100 = 10 . 10 = 1 et 1000 = -1
      d’où 1000m + 100h + 10t + u = -m + h - t + u = 0 mod 11

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      • Décembre 2018, 3e défi

        le 22 décembre 2018 à 01:25, par Daniate

        En effet , j’ai mal lu l’énoncé. Mais quand je parle de paresse, c’est justement pour me passer du modulo 11. Et le critère continue à fonctionner en remplaçant les chiffres par des nombres ainsi que vous le faites apparaître.

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  • Décembre 2018, 3e défi

    le 23 décembre 2018 à 12:43, par Daniate

    Autre démonstration.

    Tout polynôme en x dont est nulle la somme alternée des coefficients rangés dans l’ordre des puissances de x admet -1 comme racine et est donc divisible par x+1.

    L’expression est un polynôme du 3ème degré de ce type avec x=10. Elle est donc divisible par 10+1=11.

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