Un défi par semaine

Décembre 2018, 3e défi

Le 21 décembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 51

Soient $h$, $m$, $t$ et $u$ des nombres entiers tels que
$h+u=m+t$.

Le nombre $1000 m+100 h+10t+u$ est-il divisible par $11$ ?

Solution du 2e défi de décembre :

Enoncé

La solution est : $\dfrac{4}{455}$.

Comptons d’abord le nombre total de triplets de bâtonnets qu’on peut former.

Comme l’ordre dans lequel on prend les trois bâtonnets n’a pas d’influence, il y a $\binom{15}{3}=\frac{15\times 14\times 13}{3!}=455$ triplets possibles.

En utilisant le théorème de Pythagore on sait que avec trois bâtonnets de longueurs $a,b$ et $c$, avec $a>b>c$, forment un triangle rectangle si et seulement si $a^2=b^2+c^2$.

Les seuls triplets qui satisfont cette condition sont (5, 4, 3), (10, 8, 6), (13, 12, 5) et (15, 12, 9).

Par conséquent, la probabilité de tirer un de ces triplets est de $\frac{4}{455}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Décembre 2018, 3e défi

    le 21 décembre 2018 à 18:25, par Daniate

    Par paresse on peut évoquer le critère de divisibilité par 11 : la somme alternée des chiffres donne m - h + t - u = 0 qui est bien divisible par 11.

    On peut aussi retrouver le résultat proposé par Al_louarn en ajoutant au nombre m - h + t - u = 0 pour obtenir 1001m+99h+11t=11(91m+9h+t).

    Répondre à ce message

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