Un défi par semaine

Décembre 2018, 4e défi

Le 28 décembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (26)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 52

Les longueurs des côtés d’un triangle rectangle sont de $60\, cm$, $80\, cm$ et $100\, cm$.

Déterminer la longueur du segment qui part de l’angle droit et divise le triangle en deux triangles de même périmètre.

Solution du 3e défi de décembre :

Enoncé

Le réponse est : oui

On peut écrire $1000 m+100 h+10t+u$ comme
\[\begin{eqnarray*} 1000 m+100 h+10t+u & = & 1001 m + 99 h +11 t + (-m+h-t+u)\\ & = & 11(91 m + 9 h + t) + (h+u-t-m)\\ & = & 11(91 m + 9 h + t). \end{eqnarray*} \]
Par conséquent le nombre $1000m+100h+10t+u$ est divisible par 11.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Décembre 2018, 4e défi

    le 28 décembre 2018 à 11:06, par ROUX

    ABC est un triangle. Une droite partant de A frappe [BC] en D.
    On cherche où est D de manière à ce que AB + BD + DA = AD + DC + CA ou AB + ( BC - DC ) + DA = AD + DC + CA ou AB +BC - CA = 2×DC.
    Avec les valeurs proposées j’ai DC = 4.
    Mais je n’ai pas eu besoin de l’aspect rectangle du triangle 😕😕😕 : où me suis-je trompé ?

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    • Décembre 2018, 4e défi

      le 28 décembre 2018 à 11:19, par ROUX

      Oups.
      Pas fini !
      On me demande AD 😂😂😂

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      • Décembre 2018, 4e défi

        le 28 décembre 2018 à 12:24, par Al_louarn

        Avec $AB=60$ et $AC=80$ et $BC=100$ je trouve $DC=40$

        On peut utiliser le théorème des cosinus : $AD^2 = AC^2 + DC^2 - 2AC \times DC \times cos \gamma$, où $\gamma$ est l’angle en $C$ du triangle $ADC$. Comme $ABC$ est rectangle en $A$ on a aussi $cos \gamma = \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}$

        Je trouve $AD^2 = 2880$, soit $AD = 53,6 cm$ et des poussières

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      • Décembre 2018, 4e défi

        le 28 décembre 2018 à 12:27, par drai.david

        Si $AB=80$, $AC=60$ et $BC=100$, alors $AB+BD=\frac{AB+AC+BC}{2}=120$ donc $BD=120-AB=40=\frac{2}{5}BC$.
        Ainsi, $AD=\sqrt{\left ( \frac{3}{5}AB \right )^2+\left ( \frac{2}{5}AC \right )^2}=\sqrt{48^2+24^2}=24\sqrt{5}$.
        Avec un petit dessin, c’est limpide...🙂

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      • Décembre 2018, 4e défi

        le 28 décembre 2018 à 13:01, par Niak

        Pour $AC = 60$, le triangle $ACD$ est isocèle de côtés $AC=CD = 60$ (car $AC+CD = AB+BD$).
        Pour $\alpha$ l’angle au sommet $C$, on a $\cos{\alpha} = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{5}$ dans $ABC$ et $\sin{\frac{\alpha}{2}} = \frac{AD/2}{AC} = \frac{AD}{120}$ dans $ACD$ (coupé en deux par sa hauteur en $C$, médiatrice de $\alpha$). Via la formule $\cos{\alpha} = 1-2\sin^2{\frac{\alpha}{2}}$, on déduit alors aisément $AD = 24\sqrt{5}$.

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        • Décembre 2018, 4e défi

          le 28 décembre 2018 à 13:09, par Niak

          Oups, j’ai écrit « médiatrice de $\alpha$ » pour « bissectrice de $\alpha$ » (et médiatrice de $AD$).

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  • Décembre 2018, 4e défi

    le 28 décembre 2018 à 12:33, par Pierre Cami

    on trace un angle de 60° pour obtenir un triangle équilatéral de 60 cm de coté et un triangle scalène de cotés 40, 60 et 80 cm.
    3*60=40+60+80
    au préalable on a vérifié que (60*60+80*80)=100*100 (en cas d’erreur d’énoncé)

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    • Décembre 2018, 4e défi

      le 28 décembre 2018 à 23:52, par LASSALLE Philippe

      J’ai procédé comme Pierre Cami,

      1°On trouve aisément DC = 40

      Puis :

      2° On vérifie que le triangle ADB est équilatéral en analysant les angles de la figure géométrique.

      Donc :

      3° AD = 60

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    • Décembre 2018, 4e défi

      le 29 décembre 2018 à 11:23, par Al_louarn

      Dans votre triangle scalène, l’angle entre le côté $60$ et le côté $40$ fait un peu moins de $105°$. Donc si on ajoute les $60°$ du triangle équilatéral, ça ne fait pas les $180°$ requis. Autrement dit votre construction donne un quadrilatère convexe et non un triangle.

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      • Décembre 2018, 4e défi

        le 29 décembre 2018 à 12:13, par Pierre Cami

        J’ai écrit une grosse bêtise, Je rectifie et m’en excuse.
        Soit a le coté de 60 cm AB, b le coté de 80 cm BC et c l’hypoténuse AC 100 cm,
        on trace le triangle isocèle (et non pas équilatéral, ma très grande faute) de cotés AD de 60 cm, AB de 60 cm et BD de longueur x cm,
        on a un triangle scalène BD de longueur x cm BC de 80 cm et DC de 40 cm.

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        • Décembre 2018, 4e défi

          le 29 décembre 2018 à 12:41, par Pierre Cami

          J’ai oublié de donner la valeur de x, x=120*cosinus(57,5°)=69.67 cm, le plus petit angle du triangle rectangle étant de 65°.

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          • Décembre 2018, 4e défi

            le 3 janvier à 14:59, par Pierre Cami

            Encore une erreur, le plus grand angle aigu du triangle rectangle est de 80*90/140 degré soit 360/7=51.42°, x est égal à 120*cosinus((180-360/7)/2)°)=52.06 cm.

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            • Décembre 2018, 4e défi

              le 3 janvier à 17:20, par Al_louarn

              Je ne comprends pas vos calculs, mais ce qui est sûr c’est que les angles aigus du triangle rectangle de l’énoncé sont :
              $arccos(\frac{60}{100})=53.1°$ environ
              $arccos(\frac{80}{100})=36.9°$ environ

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              • Décembre 2018, 4e défi

                le 3 janvier à 18:47, par Pierre Cami

                Exact l’angle entre le coté de 60 cm et l’hypoténuse est de 53.13°, x est donc égal à
                2*60*cosinus((180-53.13)/2 en degrés) soit 120*cosinus 63.4 ° 55 cm.

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  • Décembre 2018, 4e défi

    le 28 décembre 2018 à 12:49, par ROUX

    Alors un de mes fils se place dans un repère cartésien et détermine les coordonnées de mon D en posant que D appartient à la droite (BC) et que BD^2=36 et que CD^2=16 et ça tombe.
    Ma femme fait plus dans le style de Daniate : elle joue avec les angles, une droite parallèle à (AB) en C et Thalès (et juste un calcul d’hypothénuse 😉).

    Répondre à ce message
    • Décembre 2018, 4e défi

      le 28 décembre 2018 à 13:31, par Daniate

      Prenons deux petits bonhommes, ils peuvent tendre leur bras vers la droite si cela leur chante. Ils partent de A l’un vers B l’autre vers C à la même vitesse. et se serrent les mains, après avoir remis en place leur bras ankylosé. Ils se trouvent sur Bc à 40 m de B, si AB =80 m. L’un se dirige perpendiculairement à AB et parcourt 24 m, l’autre vers AC avec 48 m, (Merci Thalès) vient alors Pythagore qui leur sort une diagonale dont le carré est 24²+48²=24²x5 malheureusement les petits bonhommes ne savent calculer une racine carrée.

      Vous reconnaissez la méthode de votre épouse.

      Et maintenant le reste. Si on recommence à partir de B ou de C on obtient 3 points. Si on les joint aux sommets opposés on obtient 3 droites concourantes. Ce résultat reste valable pour tous les triangles et le plus beau c’est qu’ils sont les points de contact du triangle avec ses 3 cercles exinscrits.

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      • Décembre 2018, 4e défi

        le 28 décembre 2018 à 13:58, par drai.david

        Vous m’avez devancé dans cette recherche.
        J’avais conjecturé la concourance au feeling...

        Répondre à ce message
  • Décembre 2018, 4e défi

    le 28 décembre 2018 à 12:53, par drai.david

    Hypoténuse !!! Sans h après le t, svp !!!😉

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    • Décembre 2018, 4e défi

      le 29 décembre 2018 à 00:46, par LASSALLE Philippe

      Hyposténuse vient du grec hupoteinousa, participe présent féminin de hupoteinein, sous-tendre

      (hupo, sous) ;

      le latin en fait hypotenusa.

      Tout cela donc n’a rien d’évident ...

      (Première attestation du mot hypoténuse : en 1520 dit le Petit Robert.)

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      • Décembre 2018, 4e défi

        le 29 décembre 2018 à 11:34, par drai.david

        Merci pour ces informations étymologiques.
        Si je vous taquinais, je vous dirais tout de même qu’il n’y a pas de « s » devant le « t »... 😉

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      • Décembre 2018, 4e défi

        le 29 décembre 2018 à 12:07, par LASSALLE Philippe

        J’ai laissé une faute de frappe. Désolé. Et je ne sais pas comment on peut modifier un message ...

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  • Décembre 2018, 4e défi

    le 28 décembre 2018 à 13:11, par drai.david

    Plus généralement, si $ABC$ est rectangle en A avec $AB=a$ et $AC=b$, alors :
    $AD=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^2 \left ( \sqrt{a^2 + b^2} + a -b \right )^2 + b^2 \left ( \sqrt{a^2 + b^2}-a+b\right )^2}{a^2 + b^2}}$

    Répondre à ce message
  • Décembre 2018, 4e défi

    le 29 décembre 2018 à 11:00, par drai.david

    Il n’existe probablement pas de quadruplet d’entiers $(AB , AC , BC , AD)$ tels que $ABC$ est rectangle en $A$, mais on peut s’en approcher...

    En effet, $AB=8225$ et $AC=5544$ donnent :
    $BC=9919$ et $AD=\frac{11844}{1417}\sqrt{449189}\approx 5602,00000277$

    La chasse aux 4 entiers reste cependant ouverte...

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    • Décembre 2018, 4e défi

      le 4 janvier à 16:55, par pogarreau

      En analysant l’expression du radical AD en injectant les triplet de Pythagore, a=p²-q², b=2pq et c=p²+q² avec p>q et p, q premiers ; avec un système de calcul formel, on s’aperçoit vite que la fraction du radical AD est formée de 2 polynômes premiers entre eux. Donc la chasse à une telle quadruplette d’entiers est fermée pour sûr.

      Reste la chasse d’un nombre rationnel AD qui accompagne la triplette de Pythagore...
      En cherchant un peu, voici 2 exemples qui s’en rapprochent de près...
      Pour AB=49 725, AC=892, BC=49 733 on a AD=223*15*732615.00001092... / 49733
      Pour AB=128 877, AC=1 436, BC=128 885 on a AD=359*19*2421531.00000330... / 128885

      Répondre à ce message
      • Décembre 2018, 4e défi

        le 4 janvier à 19:58, par drai.david

        Bonjour, et tout d’abord merci d’avoir prêter attention à mon message.

        Pour la première partie de votre réponse, je souscris sans sourciller.

        En revanche, autant la notion de nombre « presque entier » me paraît claire, autant celle de nombre « presque rationnel » m’échappe, dans la mesure où tout réel peut être approché d’aussi près que l’on veut par un rationnel, en particulier par les fractions continues.

        Par exemple, le développement de $24\sqrt{5}$ étant $[53;\overline{1,1,1,106}]$, on obtient les approximations successives suivantes de $24\sqrt{5}$ :

        $\left |24\sqrt{5}-54 \right |\approx 0,3$ ;
        $\left |24\sqrt{5}-\frac{107}{2} \right |\approx 0,2$ ;
        $\left |24\sqrt{5}-\frac{161}{3} \right |\approx 0,001$ ;
        $\left |24\sqrt{5}-\frac{17173}{320} \right |\approx 0,000006$ ;
        $\left |24\sqrt{5}-\frac{17334}{323} \right |\approx 0,000003$ ;
        $\left |24\sqrt{5}-\frac{34507}{643} \right |\approx 0,000002$ ;
        $\left |24\sqrt{5}-\frac{51841}{966} \right |\approx 10^{-8}$ ;
        $\left |24\sqrt{5}-\frac{5529653}{103039} \right |\approx 6\times 10^{-11}$.

        De plus, pour AB=49 725, AC=892, BC=49 733 on a AD=223*15*732615.00001092... / 49733 , je trouve 732615.00982781 et non 732615.00001092, ce qui fait un epsilon 900 fois plus grand !

        De même, pour AB=128 877, AC=1 436, BC=128 885 on a AD=359*19*2421531.00000330... / 128885, je trouve 2421531.00477054 et non 2421531.00000330, soit un epsilon 1445 fois plus grand que vous !

        Vous semblez donc avoir quelques problèmes d’arrondis...

        Et quitte à reprendre vos exemples, j’obtiens de meilleures approximations ainsi :
        Pour AB=49 725, AC=892, BC=49 733 on a AD=127*5*10631.00001183... / 137
        et mieux encore : AD=71*4*68880.9999995... / 397

        Pour AB=128 877, AC=1 436, BC=128 885 on a AD=5*2*142251.00025055... / 111
        et mieux encore :AD=91*36*32117.00000016.../821

        Cordialement.

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