Un défi par semaine

Décembre 2018, 4e défi

Le 28 décembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (26)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 52

Les longueurs des côtés d’un triangle rectangle sont de $60\, cm$, $80\, cm$ et $100\, cm$.

Déterminer la longueur du segment qui part de l’angle droit et divise le triangle en deux triangles de même périmètre.

Solution du 3e défi de décembre :

Enoncé

Le réponse est : oui

On peut écrire $1000 m+100 h+10t+u$ comme
\[\begin{eqnarray*} 1000 m+100 h+10t+u & = & 1001 m + 99 h +11 t + (-m+h-t+u)\\ & = & 11(91 m + 9 h + t) + (h+u-t-m)\\ & = & 11(91 m + 9 h + t). \end{eqnarray*} \]
Par conséquent le nombre $1000m+100h+10t+u$ est divisible par 11.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Décembre 2018, 4e défi

    le 4 janvier 2019 à 19:58, par drai.david

    Bonjour, et tout d’abord merci d’avoir prêter attention à mon message.

    Pour la première partie de votre réponse, je souscris sans sourciller.

    En revanche, autant la notion de nombre « presque entier » me paraît claire, autant celle de nombre « presque rationnel » m’échappe, dans la mesure où tout réel peut être approché d’aussi près que l’on veut par un rationnel, en particulier par les fractions continues.

    Par exemple, le développement de $24\sqrt{5}$ étant $[53;\overline{1,1,1,106}]$, on obtient les approximations successives suivantes de $24\sqrt{5}$ :

    $\left |24\sqrt{5}-54 \right |\approx 0,3$ ;
    $\left |24\sqrt{5}-\frac{107}{2} \right |\approx 0,2$ ;
    $\left |24\sqrt{5}-\frac{161}{3} \right |\approx 0,001$ ;
    $\left |24\sqrt{5}-\frac{17173}{320} \right |\approx 0,000006$ ;
    $\left |24\sqrt{5}-\frac{17334}{323} \right |\approx 0,000003$ ;
    $\left |24\sqrt{5}-\frac{34507}{643} \right |\approx 0,000002$ ;
    $\left |24\sqrt{5}-\frac{51841}{966} \right |\approx 10^{-8}$ ;
    $\left |24\sqrt{5}-\frac{5529653}{103039} \right |\approx 6\times 10^{-11}$.

    De plus, pour AB=49 725, AC=892, BC=49 733 on a AD=223*15*732615.00001092... / 49733 , je trouve 732615.00982781 et non 732615.00001092, ce qui fait un epsilon 900 fois plus grand !

    De même, pour AB=128 877, AC=1 436, BC=128 885 on a AD=359*19*2421531.00000330... / 128885, je trouve 2421531.00477054 et non 2421531.00000330, soit un epsilon 1445 fois plus grand que vous !

    Vous semblez donc avoir quelques problèmes d’arrondis...

    Et quitte à reprendre vos exemples, j’obtiens de meilleures approximations ainsi :
    Pour AB=49 725, AC=892, BC=49 733 on a AD=127*5*10631.00001183... / 137
    et mieux encore : AD=71*4*68880.9999995... / 397

    Pour AB=128 877, AC=1 436, BC=128 885 on a AD=5*2*142251.00025055... / 111
    et mieux encore :AD=91*36*32117.00000016.../821

    Cordialement.

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