Un défi par semaine

Décembre 2019, 3e défi

Le 20 décembre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 51

Quel est le plus petit nombre entier positif qui peut s’écrire comme la différence des carrés de deux nombres entiers de trois façons différentes ?

Solution du 2e défi de décembre :

Enoncé

La solution est $ 2019=11^3+7^3+7^3+1^3+1^3$.

Il est assez facile d’écrire $2019$ comme somme de sept cubes, puisque $2000=10^3+10^3$,

et donc \[2019=10^3+10^3+2^3+2^3+1^3+1^3+1^3.\]
Par contre pour réaliser $ 2019$ comme somme de cinq cubes, il faut utiliser des nombres plus grands que $10$.

Comme $13^3=2197$, on doit nécessairement utiliser un $11^3$ ou un $12^3$.

Avec $11^3$ on trouve
$11^3+7^3+7^3+1^3+1^3=1331+343+343+1+1=2019$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Décembre 2019, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - AGSANDREW / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Décembre 2019, 3e défi

    le 20 décembre 2019 à 08:13, par Al_louarn

    Si $n=a^2 - b^2$ alors $n=(a-b)(a+b)$ et l’on note que $a-b$ et $a+b$ sont de même parité. Comme on a besoin d’au moins $3$ décompositions différentes il faut et il suffit que $n$ soit le produit d’au moins $3$ nombres distincts, de même parité, tous différents de $1$ : $uvw=(uv)w=u(vw)=v(uw)$. Pour minimiser $n$ il suffit de prendre les $3$ plus petits entiers pairs.
    $2 \times 4 \times 6 = 48 = 2 \times 24 = 4 \times 12 = 6 \times 8 = (13-11)(13+11)=(8-4)(8+4)=(7-1)(7+1)$
    $48=13^2-11^2=8^2-4^2=7^2-1^2$

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    • Décembre 2019, 3e défi

      le 25 décembre 2019 à 13:05, par Hébu

      On peut aussi les prendre impairs, en autorisant que 2 seulement soient distincts, et en cherchant les decompositions 1.(uvw), u.(vw), (uv)w

      Par exemple avec 3,3,5, 45=49-4, etc
      Avec 3,3,7, 63=64-1=144-81, etc
      Avec 3,5,5, etc

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  • Décembre 2019, 3e défi

    le 20 décembre 2019 à 08:31, par mesmaker

    Si on enlève 0 comme nombre entier positif qui peut s’écrire comme une infinité de façon et qui est le plus petit, on a 45.
    *
    En effet 45 = 529 - 484 = 81 - 36 = 49 - 4
    *
    Le suivant est 48 = 169 - 121 = 64 - 16 = 49 - 1
    puis
    63 = 1024 - 961 = 144 - 81 = 64 - 1
    72 = 361 - 289 = 121 - 49 = 81 - 9
    ...

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